互动科普

无穷简史

A. W. Moore

无穷始终是一个难以捉摸的概念。甚至连乔治•康托尔提出的得到公认的数学观点可能也并未真正使无穷立足于一个坚实的基础之上。

两千多年来，数学家同绝大多数人一样，不知道如何理解无穷的含义。希腊和中世纪的思想家们所想出的若干悖论已使他们相信，思考这个问题不可能舒眼自在。后来，在十九世纪七十年代，德国数学家乔治•康托尔发现了超限数学，这是一个似乎解决了无穷所提出的全部难题的数学分支。康托尔通过他的研究工作证明了无穷数是存在的，无穷数有不同的大小并且可用来度量无穷集合的广延。但他是否真的解决了笼罩在数学对无穷的处理方式上的全部疑问呢？绝大多数人现在认为他解决了这些疑问，但我认为事实上他却使问题更多了。

数学家对无穷的敌意始于公元前五世纪，当时，巴门尼德的学生、埃利亚的芝诺构想出了著名的阿基里斯和乌龟的悖论。这个悖论是说，阿基里斯这位半人半神的疾行英雄要求和行动迟缓的乌龟赛跑，并让乌龟率先出发。在他追上乌龟之前，他必须先到达乌龟的出发点，而到此时乌龟已向前前进了一点儿。阿基里斯现在必须弥合他和乌龟之间的这一段新的距离，但到他弥合了这段距离时，乌龟又前进了一点儿。如此类推以至无穷，看来阿基里斯永远也不可能追上乌龟了。类似地，芝诺还论证说，不可能完成一次赛跑。要完成一次赛跑，必须先到达中点，然后到达四分之三点，然后到达八分之七点，如此等等。芝诺的结论是，不仅运动是不可能的，而且我们最好不要用无穷来思考问题。

数学家欧多克萨斯对无穷也持类似的小心翼翼的态度，他提出了所谓穷举法以克服某些几何问题中的无穷。约一百年后，阿基米德利用这一方法求出了圆的精确面积。他是如何着手的呢？图2中列出的不是他的实际推导过程，而是其推导过程的讹用形式。阿基米德自己的方法的一部分是考虑内接于圆C的一个有n条等边的多边形——称为Pn——的面积公式。按照对他的论证过程的这一歪曲了的叙述，此公式适用于圆本身，而圆正是一个由无穷多的无穷小边构成的多边形。

阿基米德的论证的歪曲叙述从直观上看有某种吸引力，但它不会使阿基米德满意。我们不能够不加批判地使用无穷，就好像它仅是某个不寻常地大的整数一样。这个问题中所发生的部分情况是，n越大，则Pn和C就符合得越好，但同样真实的是n越大，则Pn也就越趋近于一个有突起部分的圆——我们称其为C*。直观上看，关键问题就是，与其变形了的对应物C*不同，C是多边形的极限——或者是它们所趋向的任何东西。

但是，很难看出有什么办法能获得这一直现的认识而又不把圆C再次看作是一个“无穷多边形”（infinigon）。阿基米德提出了一个办法。他证明了下面这点：无论你所考虑的面积是多么小（称这一面积为ε），都存在一个足够大的整数n，使Pn的面积与C的面积之差小于ε。这样他就抓住了C和C*之间的关键差别，因为这一性质对C*是不成立的。这个事实，再加上对外切多边形所得出的类似结果，并用上述逻辑推理的一种改进形式加以补充，最终使阿基米德不借助无穷就得以证明圆的面积等于πr2。

实际的无穷和潜在的无穷

虽然阿基米德在这一个特殊的问题中成功地避开了无穷，但毕达哥拉斯学派（由毕达哥拉斯创立的一个宗教协会）碰巧想到了一个确实无法回避无穷的例子。这一发现推翻了他们对两条根本的宇宙原理的信念。第一条是“peras”（即极限），它包括所有好的东西。第二条原理是“Apeiron”（即无限），它包括所有坏的东西。他们坚持说，天地万物都可以通过整数加以认识（事实上它们最终都是由整数构成的），而每个整数均是有限的。他们认为，peras不断地克服Apeiron这一事实使上述简化得以实现。

然而，毕达哥拉斯发现，直角三角形斜边（即最长边）的平方等于其他两边的平方之和。依据这一定理，正方形对角线与其每条边之比应为比1，因为12+12=（）2。如果peras是颠扑不破的话，这一比值应当可以表述为p/q的形式，其中p和q均为正整数。但这是不可能的。想象一下有两个正整数p和q，使p与q的比值（即p被q除所得的值）等于。我们可以假设p与q无大于1的公因子（必要时可用公因子同时除p和q）。于是，p2是q2的两倍。这样p2为偶数，从而意味着p本身亦为偶数。因此，q必为奇数，否则2就将是p和q的公因子了。但是考虑一下，如果p是偶数，则必定存在正整数r，它恰为p的一半。因而（2r）3等于2q2，即2r3等于2q2等于q2，这就意味着q3是偶数，因此q本身也是偶数，恰好和上面已证明的结论相矛盾。

对于毕达哥拉斯学派来说，这一结釆完全是灾难性的。据传说，该学派的一名弟子因把这一发现泄露给敌人而发生了海难亊故。这个学派偶然碰到了一个“无理”数。这样他们就发现了正整数的局限性，而且被迫承认无限就存在于他们之中。事实上，现代的数学家将会称是一种“无穷客体”。这不仅是因为它的十进制展开式是无穷的，而且是因为这一展开式永远不会取循环的有限形式。

亚里士多德在公元前四世纪意识到一个更一般性的问题。一方面，我们不得不承认无穷的存在。撇开关于的情况不说，时间看来是无穷无尽地延续下去的，数字似乎是无穷无尽地排列下去的，而空间、时间和物质似乎是可无穷无尽地分割下去的。另一方面，来自不同起源的压力（包括芝诺悖论）又迫使我们不得不否认无穷。

亚里士多德对这一两难处境提出的解决办法是非常高明的。他区分了两类不同的无穷。实际无穷是其无穷性存在于某一时刻的无穷，而潜在无穷则是其无穷性随时间展开的无穷。亚里士多德坚持认为，对无穷的所有反对意见都是针对实际无穷的。另一方面，潜在无穷则是现实的一个根本特性。在任何一种永远也不会终结的过程中（包括计数、物质的分割以及时间本身的流逝等），都应当承认潜在无穷。两类无穷的区别为解决芝诺悖论提供了一条出路。穿过一个空间区域并不是穿过实际无穷多的子区域（穿过实际无穷多的子E域是不可能的）。但是，从空间的分割过程不可能有止境这一意义上来说，它的确意味着穿过潜在无穷多的子区域。幸运的是，这一结论没有什么害处。

亚里士多德关于实际无穷和潜在无穷的划分长期被视为正统观念。但是，学者们通常把他所指的时间解释为对某种更深刻、更抽象的东西的比喻。“随时间逐渐出现”的存在或“所有东西同时出现”的存在具有更广泛得多的含义。反对实际无穷就是反对某种实体可能具有起越所有有穷测度的性质这一观念本身，也就是否认了无穷本身是一个合理的研究对象。

大约两千年后，当数学家们在发展微积分学时，无穷——包括实际无穷和潜在无穷——再次使他们大伤脑筋。由伊萨克▪牛顿和哥特弗里德▪威廉▪莱布尼茨在十七世纪后期开创的微积分学早期研究工作，远远达不到希腊的严谨标准。事实上，数学家们广泛地、不加批判地使用了无穷小量，即人们认为小得无法测量的量。有时这些量被认为等于零。例如，当无穷小量被加到另一个数上时，这个数的值保持不变，在其它时候，无穷小量又被认为是与零不同，并用于分割。G·F·A·洛彼塔写道：“一条曲线可以视为无穷多条直的线段——每条线段的长度为无限小——的总和；或者视为一个有无穷多条边的多边形。”只有到了十九世纪，法国数学家A·L·柯西和德国数学家K·维尔斯特拉斯才重新采用了穷举法，并为微积分学奠定了一个坚实的基础。

无穷和等众性

由于柯西和维尔斯特拉斯的工作，大多数数学家对芝诺的悖论不感到那么畏惧了。那时他们更关心的是中世纪出现的涉及“等众性”（equinumerosity）的一组悖论。这些悖论来自于下面这条原理：如果能够把一个集合中的所有元素与另一个集合中的所有元素两两配成对，那么这两个集合必定有同样多的元素。例如，在实行一夫一妻制的社会里，丈夫的数量必定同妻子一样多。这一原则看来是无可争辩的。但是，这一原则在应用于无穷集合上时，似乎破坏了欧几里得最先明确提出的一个基本观念：整体总是大于其部分。例如，可以使所有正整数与所有正偶数一一对应：1对应于2，2对应于4，3对应于6等等，尽管事实上正整数也包括了奇数在内。

中世纪的学者们提出了许多类似的例子，其中有些例子是几何的。在十三世纪，苏格兰数学家John Duns Scotus苦苦思考过两个同心圆的例子：较小的一个圆的周长虽然较短，但它的周长上的所有点都可以和较大圆的较长周长上的所有点一一对应起来。同样的结果也适用于两个球面（见图3）。大约350年后，伽利略讨论了偶数与整数对应问题的另一种形式，即用整数的平方与整数一一对应。特别值得注意的是这样一个事实：随着正整数序列段越来越大，其中为完全平方数的整数所占的比例趋向于零。然而，一一对应的过程仍可以无止境地进行下去。

鉴于有这样一些麻烦，完全避开无穷集合肯定是很有吸引力的。更一般地说，像亚里士多德那样否认无穷多的事物可以同时聚集在一起，也是很有吸引力的。然而，康托尔终于对亚里士多德的观点提出了质疑。通过其杰出的研究工作，康托尔干净利落地解决了这些悖论，并提出了一个自洽的、系统的和精确的实际无穷的理论，经得起任何带怀疑眼光的审查。康托尔接受了“一一对应”原则及其逆，也就是除非两个集合的元素可一一对应，否则这两个集合是不等众的。因此，康托尔承认，正偶数的个数恰好和全体正整数一样多（其它悖论中的情况也是一样）。

出于论证的缘故以及出于现代数学在这个问题上的惯例，让我们接受这一点。如果此原则意味着整体并不大于其部分，那就姑且如此吧。事实上我们可以运用这一观念来定义无穷，至少是在用于集合时：如果一集合不大于其某一部分，则此集合就是无穷的。更确切地说，如果一个集合的元素同其某一真子集的元素一样多，则此集合是无穷的。

一旦以这种方式澄清了事实，那么剩下仍未解决的一个问题就是是否所有的无穷集合都是等众的。康托尔的研究工作的影响，有很大一部分来自他证明了并非所有无穷集合都是等众的。有不同的无穷大尺度，这一命题得自于所谓康托尔定理：任何集合（特别是无穷集合），其元素不多于其子集数。换言之，任何集合都没有其子集构成的集合大。为什么呢？因为，如果一个集合有其子集构成的集合那样大的话，那么就可以在它的所有元素与它的所有子集之间建立起一一对应关系。这样，有些元素将与包含它们的子集相对应，而另一些元素则与不包含它们的子集相对应。那么，所有那些不包括在它们已与之对应的集合中的元素所构成的集合，其情况又如何呢？任何元素都不可能与这个子集建立起无矛盾的对应关系。

这一论证可以改用一幅图来表示（见图4）。为方便起见，我将着重考虑正整数集合。我可以用一个由“是”与“否”构成的无穷序列来表示正整数集合的任意一个子集（“是”与“否”分别指明连续的正整数是不是屑于这个子集）。例如，偶数集合可以用“否，是，否，是，否……”这一序列来表示，它们分别对应于1，2，3，4，5，等等。依此类推，我们可以用“是，否，是，否，是……”表示奇数集合，用“否，是，是，否，是……”表示素数集合，用“是，否，否，是，否……”表示完全平方数集合，一般这样使不同的子集与各个正整数相对应的任意一种安排都可以表示为一个由“是”和“否”构成的无穷正方形，正如这个完全任意的例子所表明的那样。

为了证明至少有一个子集合在这张子集合表上无立足之地，我们构造一个新的子集合，即沿着正方形的对角线，把每个“是”用“否”代替，而每个“否”用“是”代替。在上面这个例子中，我们就得到“是，是，否，否……”。这个序列代表了我们所要求的子集合。因为，按照其构成方法，这个集合不同于子集合表上的第一个集合（1属于前者但不属于后者），不同于该表上的第二个集合（2属于前者但不属于后者），也不同于该表上的第三个集合（3不属于前者但属于后者），等等。这个问题带有一种令人愉快的奇异历史色彩：正如研究对角线导致毕达哥拉斯学派承认存在着不能用正整数表示的无穷性一样，这一点在康托尔的例子中也以不同的方式表现出来。

康托尔后来设想出无穷基数，即可用来测定无穷集合的大小的数。他也发明了用于无穷基数的一数算术。在定义了术语之后，康托尔探讨了一个无穷基数与另一个无穷基数相加、相乘或乘方等等时会出现什么情况。他的工作显示了最高水平的数学技巧。但是，即使用他子集的术语，也仍然存在着困难。连续统问题可能就是这些困难中最著名的一个。我们已经看到，正整数集合小于正整数集合的子集构成的集合。但是小多少呢？具体地说，是否存在着任何中间尺度的集合呢？

康托尔的连续统假说

康托尔自己的假说——即他的著名的“连续统假说”——认为，不存在中间尺度的集合。但是他从未成功地证明这一设想，也未证明这一设想是不成立的。随后的研究工作表明，问题比他所想象的要严重得多。运用现代数学的所有得到公认的方法，这个问题也不可能得到解决。这就提出了关于康托尔的观念的确定性这一哲学问题。问连续统假说是否正确，就好像问哈姆雷特是不是左撇子一样。情况可能是已知的东西尚不足以得出一个答案。如果是这样的话，那么我们就应该重新考虑康托尔的工作在多大程度上制服了实际无穷？

更重要的是关于所有集合的集合问题。根据康托尔定理，这个集合必定小于集合的集合的集合。但是且慢，集合的集合本身也是集合。因此可得出结论：所有集合的集合必定小于它自己的某一个真子集。但这是不可能的。整体可以同部分一样大，但不可能小于部分。康托尔是如何摆脱这一困境的呢？他以非凡的执着精神坚决否认存在着集合的集合这样一类事物。他的理由在于下面这样一种对集合是什么东西的看法。有些东西不是集合，但存在着所有这些东西构成的集合，继而存在着所有那些东西构成的集合，如此无穷无尽地类推下去。每个集合均属于某个更大的集合，但绝不会出现一个每个集合均属于其成员的集合。

康托尔的推理似乎多少有点特殊。但正如罗素在1901年发现的那个著名悖论所表明的那样，需要这样一种推理。罗素的悖论渉及的是由所有不属于其自身的集合构成的集合，称此集合为R。例如，老鼠的集合是R的一个元素。老鼠的集合不属于它自身，因为它是一个集合，不是一只老鼠。罗素的悖论考虑这样一个问题：R能否属于自身。如果它属于自身，按照定义，它就不属于R。如果它不属于自身，那么它就符合集合隶属于R的条件，因而也就属于自身。从集合的任何角度看，R都是可疑的。按照康托尔的观点（根据此观点，任何集合都不属于它自身），R如果存在的话，应当是所有集合的集合。这一论证使康托尔的看法（以及随之而来的否定R的存在）显得更为合理。

但这一看法岂不是明显的亚里士多德式的看法吗？请注意时间的比喻。集合被描述为产生于它的元素之后——这样无论什么时候都还有更多的元素将产生。它们的集体无穷性（与它们之中的任何一个的无穷性相反）是潜在的而不是实际的。此外，是不是这种集体无穷性最有资格号称无穷呢？人们通常的确把无穷定义为无止境的、无限的、不可测量的。几乎没有人承认无穷集合的专业定义表达了他们对这一概念的直观理解。但是根据康托尔的看法，无止境、无限及不可测量等性质更适用于整个层次，而不是整个层次内的任一特定集合。

因此，在某些方面，康托尔证明了比如说正整数集合是“真正”有限的，而“真正”无穷的东西还在正整数集合之后的某个地方。康托尔自己并不回避使用这些术语。具有讽刺意义的是，他的工作似乎大大充实了亚里士多德的正统理论，即“真正”的无穷永远不可能是实际的。

某些学者反对我的下述看法：按照康托尔的观点，正整数集合是“真正”有限的。他们抱怨说，这一论断不仅同标准的数学术语相矛盾，而且同我自己似乎所提出的相反，同大多数人的看法相矛盾。

嗯，肯定大多数人会认为正整数集合是“真正”无穷的。但是，另一方面，大多数人也不知道康托尔的结果。他们也会否认一个无穷集合可以比另一个无穷集合大。我的论点不是关于大多数人将会说什么，而是关于他们怎样理解他们的术语——以及这一理解怎样在住何给定的场合才最能够缓和康托尔的结果的冲击。这里没有任何强加于我们的东西。我们可以说一些无穷集合比另一些无穷集合大，我们可以说正整数集合只是有限的。我们也可以回避上面任何一种说法，并否认正整数集合的存在。

如果现在的任务是明确地表述某些标准的数学结果，则我不会主张使用标准的数学术语以外的其它任何术语。但是我将敦促数学家和其它科学家在评价康托尔的结果对传统的无穷观念的影响时比平常更加小心谨慎。看来，真正的无穷仍远未被我们所掌握。

【苏瑷/译  胡天其/校】