我们正处在一个科技高度发展的时代，新的发现与发明不断涌现，使得我们对于世界的认识不断地加深。然而，随着老问题的解决，新的问题又不断出现，它们刺激人类探索未知的欲望，挑战人类的智慧。即使在我们司空见惯的事物里，也会蕴藏着深刻的奥秘，正整数特别是素数就是一个很好的例子。
早在人类的初始阶段，居住在岩洞里的原始人就有了自然数的概念，并有了最简单的记数方式和算术。经过漫长的岁月，才形成了关于正整数的一些理论。研究正整数的理论称为数论，在古希腊时代就有这方面的记载。两千多年以前，在古希腊数学家欧几里德（Euclid）的名著《几何原本》里，有不少数论的定理，其中有一些我们今天仍然经常用到。例如“算术基本定理”，它是说，任何大于1的正整数都可以惟一地分解为素数的乘积。因此，从乘法的角度来看，素数是构成正整数的最基本要素。欧几里德还用反证法证明了素数有无穷多个。
从数据上我们可以看到，素数的变化是极其复杂的，所以数学上更关心素数的统计规律。比如说，不超过x的正整数中有多少个素数？这个数目通常用π(x）来表示。高斯（Gauss）猜测，当x很大时，π(x）大约有x/lnx这么大。如果这个结论成立，那它就称为“素数定理”。由于判定一个正整数是否为素数是一个相当复杂的过程，同时，素数的分布不容易和好的数学工具挂上钩，所以，像高斯和欧拉（Euler）这些数学大师拿π(x）也毫无办法。
直到1859年，才由黎曼（Riemann）提出了一个革命性的想法，使得对于π(x）的研究有了根本性的转变。黎曼引进了一个称为ζ函数的复变函数，他把关于π(x）的研究转化为关于ζ函数的零点分布的研究。黎曼对于ζ函数的零点分布做了一个猜想，这就是著名的“黎曼猜想”。这个猜想至今还未解决，它被作为七个“千禧年问题”之一推荐给21世纪的数学家们。通过对ζ函数的零点分布的研究，1896年，阿达马（Hadamard）和泊桑（Poussin）独立地证明了素数定理。如果黎曼猜想成立的话，则关于π(x)的性质还会知道得更多。
关于素数还有一个很著名的猜想，就是“哥德巴赫猜想”，它是哥德巴赫（Goldbach）于1742年给欧拉的通信中提出来的。哥德巴赫猜想的表述形式是：每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和；每个不小于9的奇数都是三个奇素数之和。长期以来，数学家们对于哥德巴赫猜想束手无策。直到20世纪20年代，才由哈代（Hardy）和李特尔伍德（Littlewood）开始了实质性的研究。1937年，维诺格拉朵夫（Vinogradov）证明了，每一个充分大的奇数都是三个奇素数之和，这基本上解决了关于奇数的哥德巴赫猜想。关于偶数的哥德巴赫猜想要更困难一些。1920年，布朗（Brun）证明了，每个充分大的偶数都可表为两个正整数之和，其中每个正整数的素因子个数均不超过9，这个结果也称为“命题(9+9)”。1956年，王元证明了(3+4)，由此开启了中国在哥德巴赫猜想命题(a+b)研究上的先河。之后，又有潘承洞和陈景润的进一步改进，并最终由陈景润证明了(1+2)，这是目前关于偶数的哥德巴赫猜想的最好结果。如果最终能够达到（1+1），就基本上解决偶数哥德巴赫猜想了。虽然从表面上来看，(1+2）离偶数哥德巴赫猜想不太遥远，但从目前的方法上来看，差距仍然非常大。
2008年，格林（Green）和陶哲轩（Tao）证明了，存在着任意长度的有限算术级数，其中每一项都是素数。他们的结果重新燃起了人们对于素数的巨大兴趣和热情，成为目前数论一处最亮丽的风景。关于素数的问题还有很多，它们大都表述简单易懂，但研究起来极其困难，非常具有挑战性，因而引得许多智者献身于斯。有道是“不入园林，怎知春色如许？”漫步在素数的花园里，领略素数的无限风情和魅力，会是一件十分愉快的事情。
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