互动科普

对数进入人们的研究视线是在1594年。当时是所谓的“大航海时代”，需要测量船只在海上的位置等等，大数字计算的需求增多。当时也是对行星进行详细观测，从地心说转变为日心说的时代，计算行星的轨道等等也是需要进行复杂计算的。所以，“尽可能地简化计算”也是时代的需求。在这个时代背景下，英国的数学家约翰·纳皮尔（John Napier，1550～1617）研究了将对数作为计算工具。

重复乘算几次够了？

为了理解对数，先回忆一下“倍乘米粒”的故事。比如说，第4天得到几粒米呢？从第一天的1粒开始，第2天、第3天、第4天是2倍的3次重复，所以是2³，等于8粒。这就是“指数”的计算。

那么反过来问，得到8粒米时是第几天呢？这就是“对数”的计算。因为米粒是以2的不断自乘方式增加的，就变成了2自乘几次之后变成8，再加上不乘2的第1天，结果就是3+1=4,第4天。

那么，第几天拿到536870912粒米呢？和前面一样，只要考虑2自乘几次之后变成这个数字就可以了。因为2²⁹⁼536870912，所以2自乘的次数是29次，再加上第1天，答案是第30天。

对数和指数本质上是一样的，只是视角不同而已

像这样一个数反复自乘之后得到另外一个数的情况，反复乘的次数称作“对数”。例如：求2自乘几次得到32时，对数是5（32=2⁵）。

例如：求2自乘几次得到536870912时，对数是29（536870912=2²⁹）。

由于我们在本文开头将“同一个数反复自乘的次数”称作“指数”。另外刚刚又说对数是“（某个指定的数）反复自乘的次数”。那么，指数和对数有什么区别呢？

实际上，指数和对数都是“反复自乘的次数”，在这个意义上两者是相同的。但是，两者的视角（因果关系）是不同的。指数是乘数和反复自乘的次数已知的情况下使用的概念，而对数是乘数和反复自乘后的结果已知、但反复自乘的次数未知时使用的概念。

对数和指数的关系

用文字描述不太方便，所以用“log”符号来表示

表示对数时用“log”符号。也许看到log符号就会觉得比较复杂，其实完全不必。写成：“2重复自乘得到8时的自乘次数”是不是很复杂？用log符号可以简化，这种情况下可以写成:“log₂8”（因为8=2³ 所以log₂8=3）。

log右下方的小数字就是作反复自乘的数，称作“底数”(本例中为2)。末尾的数是反复自乘后的结果，称作“真数”(本例中为8）。2重复自乘得到32时（底数为2，真数为32），对数（反复自乘的次数）是：“log₂32”(值是5）。2重复自乘得到536870912时（底数为2，真数为536870912）的对数是：“log2536870912”(值是29）。

当然，底数不一定非为2不可。比如：“log₁₀1000”是10作反复自乘得到1000时（底数为10，真数为1000）的反复自乘的次数，值是3。又如：“log₃81”是底数为3，真数为81时的对数，值为4。另外，底为10的对数称作“常用对数”，因为它是最常用的对数的缘故。

再进一步说，到目前为止，我们举的例子里底数都是整数，这也并非一定如此。对数的底数除了1，任何正实数都可以，同样，对数的值也不一定是整数。不管怎样，只要“底数”和“真数”定了，就决定了惟一的一个对数。

对数活跃在各个科学领域

对数常在我们身边的各种场景中出现。例如我们知道夜空中的星星是按亮度分类的，称作“1等星”、“2等星”……这里的数字1，2……实际上是来源于对数的。

古希腊时代，人类将亮度最高的星（恒星）称作1等星，肉眼勉强可以看到的星称作6等星，当中按亮度分为2等星、3等星、4等星和5等星。

到了19世纪，英国天文学家诺曼·罗伯特·普森（Norman Robert Pogson，1829～1891）对各种星的光度进行了准确的测量，发现1等星的光度是6等星的100倍。也就是亮度级别差从6等到1等总共差5级，而光度差100倍，那么每1级光度的差就是2.5倍。反复乘上5次之后能够得到100的数（100的5次方根）约是2.5（log_2.5100≈5）。

假设6等星的光度为1，那么光度为2.5的星是比6等星亮1级的5等星。同理，光度约6.3（2.5²）的星是比6等星亮2级的4等星; 光度约15.6（2.5³）的星是比6等星亮3级的3等星; 光度约39（2.5⁴）的星是比6等星亮4级的2等星; 光度约100（2.5⁵）的星是比6等星亮5级的1等星。需要注意的是：虽然等级只差1级，但光度的差却随着级别本身的提高而越来越大。

假定某个星的光度是基准星的250倍，求这两个星的等级差。只要考虑“2.5自乘几次得到250”(log_2.5250）就可以了。这正是对数的思路。2.5自乘6次可以得到250（2.5⁶)，所以应该比6等星亮6级。星的等级就是这样由对数决定的。

换个角度说，用对数来表示星的等级也和人的感觉器官是“对数式的”有很大关系。例如在不太辣的咖喱饭里加一勺辣椒粉，我们会感到辣。要是在已经很辣的咖喱饭里加一勺辣椒粉，几乎感觉不到辣。为了感觉到和前者一样明显的辣，必须加入几倍以上的辣椒粉。同样，星的等级不相差2.5倍的话，在人的眼中就不会感觉到很明显的亮度变化。

地震的震度和pH值也都是对数

在自然科学和经济学等各个领域，我们会和不是以固定差而是以固定比例变化的量打交道。在这些领域，对数就很活跃。表示地震的震级（magnitude)，表示酸性、碱性指标的pH值和表示音响的分贝（decibel）等等。只要看到这些量，就可以明白对数是多么重要。

（本文发表于《科学世界》2013年第11期）