对数是什么？对数是一个数通过第四种逆运算所得的结果。
请你别生气，这的确不是数学书上的定义，只是笔者为了使人理解而自己杜撰出来的。绝大部分的数学都不好懂，如果要从最简单的甚至连小学生都知道的东西学起，也许就要容易得多。小学生知道什么？正整数1，2，3，4…他们知道的运算是什么？加减乘除。这里我们就有了两种正运算：加法和乘法，而第一种和第二种逆运算就是减法和除法了。四则运算对于小学生肯定不在话下，但他们往往忽略下面三点：
1、对于正运算，两个正整数相加或相乘，结果仍然是一个正整数。
2、对于逆运算，两个正整数相减或相除，结果就不一定是一个正整数了，也就是说，有时是，有时不是。如果不是，人们有截然不同的两种态度：一是说这题不合理，出错了，无解；一是引进零和负数。我不能说西方人比较笨，可他们特别死板，死不承认负数，例如大数学家、大物理学家、大哲学家同时也是大作家的帕斯卡就认为，从0减去4纯粹是胡说八道。聪明的中国人则不这样，早就引进零和负数了。
3、乘法是同一个数若干次连加，会乘法使运算大大方便了。中国人早在春秋时期就会乘法了，而2000多年后，意大利的乡下孩子学经商还得到城里学乘法。
乘法是同一数相加，乘方则是同一数相乘，这是第三种正运算，记作am。这种正运算仍然保持加法和乘法的特点，结果仍是正整数。但逆运算却不止一个。通常我们说的逆运算是开方，也就是指数m保持确定时的逆运算—第三种逆运算，最常见的是m＝2，3时的逆运算，即把数开平方、开立方，得出的结果一般也不一定是正整数或正分数，于是产生所谓第一次数学危机，也就是无理数的出现。
谁也没有想到，乘方这种运算，还有另一种逆运算，这就是底数a保持确定时的第四种逆运算—求对数。常用来计算的是以10为底的常用对数，log，求一个数x的对数，实际上也就是把x表示为10logx 。
从17世纪初到20世纪末近400年间，对数起着大大简化数值运算的作用。在用手计算的时代，把乘法变成加法，把乘方、开方变成乘法，肯定大大减少了科学家和工程师的工作量。就在不久之前，工程师还人手一个计算尺，它是完全依据对数的原理制成的，其方便程度是机械计算机远远赶不上的。当然，大型电子计算机以及个人电脑的问世使以前所有的计算工具均遭淘汰，就像在超市中，小型电脑已经取代了方便的算盘一样。
可是，对数作为重大的数学成就永远也不会消失。前面讲到，我们所有的逆运算都伴随着数的概念的扩张。所有的扩张都给数学带来一个新天地，同时也带来小小的麻烦。正整数的正运算的许多性质不复存在，特别是0在有些情形下变得没有意义，例如3/0，0/0，特别是log0 。正整数经过正运算后，一定存在一个结果，而且结果是惟一的。有了0、负数等其他数后，这可就不一定了。有了负数，√4 就不止﹢2一个解，还有-2也是解，一共两个解。不要小看这点，后来它发展成为代数学基本定理：在复数域中，n次代数方程存在n个解（或根）。
复数是一个伟大的数系，在实数域中，所有负数都没有对数；可是在复数域中，除0之外，所有复数都有相应的对数，包括负实数，而且可取多个值。这样我们得到对数函数的观念，对数函数同代数函数和三角函数等等是数学中必不可少的重要函数。有了函数，特别是对数函数，数学才有比计算更大的威力。不过请注意，在数学中用的对数都是以e为底的自然对数。e是比无理数还无理的超越数，它是仅次于圆周率π的最重要的普适常数，证明这点导致数论的一个分支—超越数论的诞生。更妙的是，欧拉发现了一个奇妙的关系：
eiπ＋1＝0
这个公式包含5个数学中的常数0，1，i，e，π；3个正运算：加，乘，乘方。你说妙不妙？！
（本文发表于《科学世界》2013年第11期）
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