互动科普

滑块类游戏的演化

1. 洛伊德的“14-15”玩具

在重排九宫游戏的基础上，国内外的智力游戏专家都开发出了一些新的、饶有兴味的游戏，包括当前风靡全球的“数独”等等。本文不讨论它们了，只讨论其中的滑块类游戏。美国的萨姆·洛伊德（Sam Loyd，1841～1911）在1878年推出了著名的“14-15”智力玩具。这个游戏曾经风靡欧美大陆，引起狂热。上自皇室人员、政治家，下至普通工人、农民，到处都有人如醉如痴地玩这个游戏。这个游戏为什么会引起如此广泛的兴趣呢？原来，这个玩具的原始布局，其他数字都是顺序的，只有14、15是错位的。洛伊德承诺，谁能够通过滑动滑块使错位的14和15恢复正常次序，谁就能够获得1000美元奖金（这在当时是一个很大的数字）。根据九宫图游戏有解无解的判断法（适用于4×4方阵），立刻可以看出“14-15”游戏是无解的，这不过是个骗局。

图1. 14-15游戏的变形

然而洛伊德的这个游戏盘还是有用的。从它的初局出发，有可能到达一些有趣的终局。首先是图1（a）那样的终局，即数字1～15理顺了，但空格在左上角。解法需要44步：

14 11 12 8 7 6 10 12 8 7 4 3 6 4 7 14 11 15 13 9 12 8 4 10 8 4 14 11 15 13 9 12 4 8 5 4 8 9 13 14 10 6 2 1

其次是图1（b）那样的终局。这个终局有什么特殊之处呢？原来它是一个“幻方”，即每行、每列和2条对角线上数字之和都相等。由初局变到这个终局需要50步：

12 8 4 3 2 6 10 9 13 15 14 12 8 4 7 10 9 14 12 8 4 7 10 9 6 2 3 10 9 6 5 1 2 3 6 5 3 2 1 13 14 3 2 1 13 14 3 2 1 13 14 3 12 15 3

图1（c）那样的终局也是一个“幻方”，但只要36步：

12 11 7 3 2 1 5 9 10 7 14 15 7 6 1 2 4 8 3 14 15 7 13 10 6 1 14 15 11 3 15 4 8 15 3 12

2.“抓山羊”游戏

1914年，美国出现了一个获得专利的游戏，叫“抓山羊”，后来在第二次世界大战中被人叫做“把希特勒关进狗窝”。这个游戏有9个小方块和一个矩形块，在一些块的表面还涂了一些粗线条。其初局使这些粗线条形成一个封闭的八边形，代表“篱笆”。此外，在一个小方块上标有“G”，代表山羊（Goat）。游戏要求把代表山羊（或希特勒）的方块移到篱笆的中央。这个游戏目前的最佳解法是28步：

56756 43296 296G1 69342 5725G 961

这个解实现了游戏的目标，把山羊关进了篱笆，但终局中2、6两个滑块交换了位置。

 “抓山羊”游戏的布局

3. 从离心到向心

这个游戏出现于上个世纪80年代中期的美国。初局，A、B、C、D这4个大方块上的箭头是向外的。要求经过移动，使这4个大方块上的箭头向内。显然，要做到这一点，必须让A和D换一下位置，B和C也换一下位置。这个游戏由于对终局的要求不同，其难易程度也不同。如果要求终局中各外围小方块和矩形块仍维持在原位，那是很困难的；如果没有这个要求，当然就容易一些了；如果连4个大方块都不要求仍然居中（这种情况下各外围小方块和矩形块当然不可能维持在原位了），好像就更容易了。国外资料曾经公布实现以上3种终局的解法分别是154步、181步和209步。笔者早就意识到这些结果肯定不是最优的，因此在10年以前出版的《好玩的数学》一书中悬赏征求该游戏的更佳解法。果然，很快有浙江大学学生沈超峰和安徽黄山学院学生张杰给出了2个更好的解法，步数分别是142步和150步，比原来的解分别少12步和31步。最近，莫海亮对这个游戏进行了深入的研究，获得了更好的结果，实现以上3种终局结构的解的步数减少到分别为117、113和159，4个大方块不居中的那种结构，其实难度并不亚于居中的那种结构。

我们相信，以上的解仍然不是最佳的。我们希望和读者一起，继续为这个游戏寻找更少步数的解法。

从离心到向心游戏

4. 四象限之谜

这个游戏出现在20世纪70年代，游戏的终局，滑块表面的线条形成一个圆，分4个象限，每个象限的中央有一个黑点。

这个游戏虽然滑块全部是一样大小的正方形，但由于有些滑块表面有线条或圆点，增加了游戏的趣味。游戏开始时，带圆点的4个方块在最底下，原先在最底下的4个表面无墨迹的方块在4个象限的中央。

这个游戏从初局到终局难度并不大；但若要求步数最少，则并不容易。国外资料给出的最少步数是74步，莫海亮经过深入研究，获得了一种70步的解法。下面就是莫海亮的解。由于棋盘上始终只有一个空格，我们用空格四周哪个棋子移入当前空格表示棋步，U（up）表示走空格上方棋子，D（down) 表示走空格下方棋子，R（right) 表示走空格右方棋子，L（left) 表示走空格左方棋子。

DRRUR  RDLDD  DLUUR  DLUUU  RDDDL  UUULD  DDDRU  UUURD  DDLLD  RRUUL  DLURU  RRULL  LDDRU  ULDLU

四象限之谜

5. 最复杂的“攀高峰”

最后我们介绍一个十分复杂的滑块类游戏，这个游戏是日本人阿部实（Minoru Abe）设计的，英文名称是“Climb Pro24”。其中不但有大小不等的方块、矩形块，还有带凸起的或有拐角的不规则几何体，棋盘本身也带有一个凸出部分。游戏要求从初局出发，通过平移把带凸出部分的“A”移到顶部带凸出部分的空格中去。我们把它叫做“攀高峰”游戏，一则因为要求把A通过重重障碍移到顶端，如同登山攀顶；二则也表示谁能够完成这个任务，称得上是在这类游戏中登上了顶峰。国外资料提供的解法需要474步，暂不介绍，希望我们的读者能打破这个纪录。 

 “攀高峰”

（本文发表于《科学世界》2013年第12期）