互动科普

在大量的“佯谬”中有一个非常著名的佯谬叫做“阿基里斯和乌龟佯谬”。在这个佯谬中出现了希腊神话中的一位擅长奔跑的英雄阿基里斯。在阿基里斯的前方有一只缓慢爬行的乌龟，可是他却永远也追不上它。

假定那只乌龟在阿基里斯前方100米处开始爬行。为了讨论的方便，假定阿基里斯的奔跑速度是10秒钟跑100米（每秒10米）。乌龟爬行的速度是每秒1米。

阿基里斯一起动，10秒后就能够到达乌龟开始爬行的位置。不过，在这10秒钟，乌龟已经向前爬行了10米。因此，在10秒钟后阿基里斯到达乌龟先前所在的100米位置时，乌龟已经在他的前方10米处。这10米不算什么，阿基里斯1秒钟后就能追上。可是，在这1秒钟，乌龟又向前爬行了1米，仍然在他的前方⋯⋯

如此看来，无论阿基里斯怎样追赶，乌龟总是在他的前方，阿基里斯永远也追不上乌龟。实际情况当然不是这样，快腿阿基里斯肯定会追上迟钝的乌龟。问题出在哪里呢？

实际计算一下就会知道，阿基里斯追赶上乌龟所需要的时间不会是无穷大。阿基里斯追赶上乌龟所需要的时间是10＋1＋0.1＋0.01＋⋯＝11.11⋯（秒），求和得到的是一个有限值（叫做无限求和“收敛”）。这就是说，阿基里斯只需要比11秒稍多一点时间就会追赶上乌龟。产生这个疑似佯谬是由于误以为无穷多个数的求和计算得到的结果必定是无穷大。

（本文发表于《科学世界》2011年第3期）