细分后再求和，这就是“积分”
发明微分法的牛顿同时也研究了“积分”，结果得到的是将微分和积分统一起来的“微积分”。下面我们就来介绍什么是“积分”。
假设有一块紧靠一条弯曲河流的土地。当然，必须进行测量才能够知道这块土地的面积。如果是一块由直线围成的土地，这不是什么难事。问题在于，这是一块由曲线围成的土地。如何才能够求出它的面积呢？
解决这个难题就需要用到积分。如果说微分是一种为曲线引切线的方法的话，那么积分就可以说是一种“求曲线所包围的面积的方法”。
早在公元前的古希腊时代，人们就已经在使用一种求土地面积的办法。那就是，将曲线围成的土地划分为许多可以用简单方法计算出面积的图形，比如说划分为三角形和长方形，然后对所有这些图形的面积求和。这种先细分再求和的求面积的方法就已经包含了积分的思想。
古希腊的欧几里得（生卒年不明，活跃在公元前约300年）和阿基米德（公元前287〜前212）就曾用这种方法来求圆一类图形的面积。
到了17世纪，这种方法随着坐标等数学工具的出现得到很大改进，已经变得相当成熟。意大利的两位学者博纳文图拉·卡瓦列里（1598〜1647）和伊凡吉利斯坦·托里拆利（1608〜1647）为发展这一方法作出过重要贡献。两人都是伽利略的弟子。
但是，用这种方法求面积非常麻烦，不仅计算量很大，而且也不严格。为了将待求面积的区域划分为与周边曲线尽可能密合的许多便于计算面积的小图形，划分得越细越好，因而必须进行大量的计算。显然，这样来计算面积，既繁琐，也不是一种普遍适用的方法。
这个同积分有关的难题最后也是由牛顿非常漂亮地解决的。
对许多细条长方形求和
如上图所示，将曲线围成的土地（下方红线框出范围）划分为许多细条长方形，然后计算它们的面积之和来得到这块土地的面积。这样一种计算面积的方法已经包含了“积分”的思想。分割形成的全部长方形的区域与曲线所围区域之间肯定存在着“误差”（粉红色部分）。分割得越细，误差越小。但是，分割太细，计算量会非常大。
积分是微分的“逆运算”！彻底解决了积分计算的难题
作为一个简单积分的例子，我们先来计算不是由曲线而是由直线围成的一个区域的面积。
如下面图解中的图①－A所示，图上有一个由直线“y＝1”、“x轴”、“y轴”和“平行于y轴的直线”（红色直线）围成的区域（绿色长方形），我们来考虑这块区域的面积等于什么。设平行于y轴的那条直线的x坐标是“x”，那么绿色长方形的底边长度就是“x”。已知绿色长方形的高为“1”，于是马上可以计算出这块绿色长方形的面积，它等于底边（x）×高（1）=“x”。把平行于y轴的直线的x坐标和绿色长方形面积的这种数学关系绘制成图线，便得到图①－B中的新图线。此图线的y值就是图①－A中绿色长方形的面积值。绿色长方形的面积等于“x”，因而①－B中的图线可以用一个数学式“y＝x”表示，这是一条直线。
现在再来看下面的图②－A，图中有一条由数学式“y＝2x”表示的倾斜直线，这次要考虑的是这条直线下方的那个区域（绿色三角形）的面积等于什么。根据面积公式，马上可以得到绿色三角形的面积＝底边（x）×高（2x）÷2=“x2”。
与得到图①－B一样，我们也把平行于y轴的直线的x坐标和绿色三角形面积的这种数学关系绘制成图线，得到图②－B中的新图线。此图线是用“y＝x2”数学式表示的一条曲线。
于是，这里就有了成对的上下对应的图线。你是否觉得似曾相识？原来，它们就是在第32页给出的那种成对的上下对应的函数图线和导数图线，只不过上下交换了位置。
求表示面积的函数
把上面各图中“平行于y轴的直线的x坐标”和“绿色部分面积”之间的关系绘制成图线，便分别得到下面对应的各图。这里上下成对的图中的两个对应函数之间的关系就是 “导数”和“导数所对应的原来函数”之间的那种关系。下图中的函数叫做对应上图中函数的“原函数”。
对“y＝x2”进行微分得到了导数“y＝2x”。在这里则是为了求“y＝2x”所表示的直线下方的面积而对这个函数进行计算，即进行积分，得到了“y＝x2”。原来，“微分”计算和“积分”计算两者是一种“逆运算”关系。
牛顿在1665年发现了这种奇妙的“逆运算”关系。利用这种“逆运算”关系，他就彻底解决了长期遗留下来的这个积分计算难题。
如果利用“微分”和“积分”之间的“逆运算”关系来求前两页提到的那块河流旁边的土地的面积，就不再需要将那块土地划分为许多细小的图形来进行繁琐的计算。这时要做的事情，不过是设法找出对其进行微分就可以得到已知曲线公式的那个未知数学式。待求的那个数学式（函数）叫做已知曲线公式（函数）的“原函数”。这个原函数就是正确表示已知曲线下方面积的数学式。
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