1687年，牛顿出版了他的著作《自然哲学的数学原理》，习称《原理》。书中全面论述了他所建立的力学体系（牛顿力学），解释了包括“万有引力定律”在内的运动定律。《原理》称得上是科学史上最伟大的著作之一。
牛顿开始动笔写作《原理》是在1684年。事实上，他早在近20年前的1665年就已经发现了万有引力定律，那与他创立微积分差不多是同一时期。
洞彻炮弹与天体运动的《原理》
在《原理》一书中为何没有使用微积分?
在《原理》一书中，对问题的证明没有像现在这样使用微积分，反而似乎是在有意避免使用微积分。牛顿没有使用坐标，而是通过绘制图形来证明问题，也就是说，他使用的是“几何学”的方法。书中在求速度和求面积时都没有使用微积分。
牛顿在当时已经掌握了微积分的计算方法，那么，他为什么不使用微积分呢？难道他最初是使用微积分进行证明，只是在后来写书时才改用了不使用微积分的证明方法？
日本大正大学的高桥秀裕准教授专门研究过牛顿的流数术，他对这个问题有如下推测：
“牛顿在动笔写《原理》的时候，他追求的是数学上的严密、雅致和尽可能直观，他崇尚的是古希腊的几何学。他蔑视笛卡尔的思想，以不以为然的态度看待使用笛卡尔创立的坐标来解决问题的那种‘解析的’数学。微积分是解析数学。正是牛顿思想上的这种转变成为他没有在《原理》中使用微积分的主要原因。”
高桥准教授说，“在牛顿遗留下来的《原理》的草稿上也找不到他使用过微积分的字迹，这说明牛顿一开始用的就是几何学方法。”
不过，在《原理》中也不是完全看不到微积分的影子。在有的部分还是能够清楚地看出应用了微积分（流数术）的概念。“或许主要的证明没有使用微积分，但是微积分概念肯定起了作用。”高桥说。
说牛顿不懂微积分是一种误解
在《原理》中没有使用微积分，这个事实自然会对牛顿和莱布尼兹关于谁是微积分发明人的争论产生了影响。莱布尼兹利用这个事实来攻击牛顿：“牛顿没有真正懂得微积分，所以他在《原理》中没有使用微积分。”
高桥准教授说：“说牛顿不懂微积分完全是误解。牛顿对微积分的意义有非常清楚的认识。诚然，莱布尼兹所使用的一套符号系统更加优越，但是，牛顿使用他自己发现的‘二项式定理’将积分的应用范围扩大到了三角函数等复杂函数，显示出牛顿的远胜过莱布尼兹的数学能力。”
牛顿和莱布尼兹创立微积分以后，又有许多数学家对它进行了多方面的改进。现在我们在学校里学习的微积分，其实是以牛顿为代表的许多天才数学家的卓越工作和创造性灵感的集体结晶。
牛顿和莱布尼兹，谁是微积分的发明人？
根据科学史的研究，牛顿大概在1665年的时候就已经形成了微积分的基本思想。但是牛顿做事一向神秘，他并没有将自己的这种微积分方法立即发表。牛顿的关于微积分的成果最早是作为他在1707年出版的《光学》一书的附录发表的，题名为“曲线求积术”。
除了牛顿，还有一个人也应该是微积分的“发明人”。他就是德国的哲学家和数学家戈特弗里德·威廉·冯·莱布尼兹（1646〜1716）。
据说，莱布尼兹在1675年就已经有了微积分思想，他的关于微积分的论文是在1684年发表的。莱布尼兹形成微积分思想的时间比牛顿晚，但是发表出来的时间却比牛顿要早。因此，从1711年开始，牛顿和莱布尼兹两人就为争“谁是微积分的发明人”的事情闹得不可开交。
牛顿和莱布尼兹对微积分的处理其实是不大相同的。牛顿考虑的是点和线的“运动”，以此来导出切线斜率和面积。莱布尼兹考虑则是非常小的三角形和细条长方形这样的“无限小图形”，以此来导出切线斜率和面积。
现在我们在学校学习的微积分主要是使用莱布尼兹的一套符号所表示的微积分。牛顿的一套符号虽然没有在学校学习数学时使用，但也不是完全没有人使用。主要在物理学领域，现在有时也会用到牛顿的微积分符号。
两位“发明者”使用了不同的符号
这里图解左侧给出的是牛顿使用的微分和积分符号，右侧给出的是莱布尼兹使用的微分和积分符号。现在学校学习数学沿用的主要是莱布尼兹的符号。
牛顿是利用动点沿曲线移动的速度(x，y)来计算切线的斜率（他最初使用的是p和q，后来才改用了这种在符号上方加一点的表示法）。他把动点的这种速度称为“流数”。莱布尼兹则是通过求极其微小的三角形的两条直角边（dx，dy）之比来计算切线的斜率。
牛顿是把曲线下方的面积看成平行于 y轴的直线向右移动在曲线下方扫过的面积，以此来计算面积（x）。他把这根移动直线形成的这种面积称为“流量”。莱布尼兹则是通过对所有纵y×横dx的细条长方形面积求和（∫ydx）来计算面积。
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