互动科普

与其他许多讲虚数和复数的书籍和文章不同的是，它中间插了一段有关“负负得正”的论述，并且在复平面上“说明”为什么负负得正。其实不用那么复杂，简单的事可以简单来做。

帕斯卡

数学崇尚简单，数学要求证明。证明的本质在于用更简单的命题通过合理的逻辑步骤推导出来。欧几里得在两千八百年前已经为我们做了示范。例如，他由5个公理、5个公设，当然还有许多的定义推导出来任意三角形的内角和等于180°，其中起关键作用的公设就是著名的平行公设。

在这里，笔者还要多啰嗦两句。数学真理有某种绝对性，只要你的前提（定义、公理、公设）正确，推理过程无误，结论就是正确的，你不必用实践来检验，也不必用实验来证实，这是数学与自然科学的根本不同之处。尽管从古到今，都有一些人把数学当成自然科学，企图通过归纳方法得出数学真理，企图通过经验证明数学真理，但这些都是数学发展最初级阶段的想法。当然，经验方法及归纳方法对数学发现至关重要，但归根结底，数学结论的真理性要靠证明。伟大的法国思想家、数学家、物理学家、文学家帕斯卡（B.Pascal，1623～1662），小时就绝顶聪明，他父亲怕他用脑过度，就把欧几里得等数学书藏起来。可是小帕斯卡自己就得出欧几里得的许多定理，据讲，他就是剪了许多三角形，然后把它们的内角拼在一起，结果外边都成一直线。这就是天才，这就是创造。当然，三角形无穷多，拼起来也有误差，要证明这个定理，还是得靠证明。

现在该回到主题了。为什么负负得正，我们得给个证明。我们的教科书，我们的老师，甚至许多数学系的大学生、研究生，肯定知道负负得正，但是，大多数人并不寻根究底，更不用说像帕斯卡那样有所发现和创造了。正如笔者在《科学世界》2009年第1期的卷首语中所讲，伟大的科学家自有他们的独特之处，袁隆平、吴文俊就是这样的人。爱因斯坦、罗素这些世界顶尖的思想家都是一接触欧几里得就感到其神妙，他们都是从一开始就能抓到数学精髓的人。

显然，懂得数学精髓的人并不都能应付考试和找到工作，因为应付考试还需要许多解题技巧。不过，笔者得补充一句，解题特别是证明定理时往往要回到概念的定义。

负负得正的证明很简单，只用到下面一个公式：

（-1)×[(+1)＋(-1)]＝0

聪明的读者看到这个公式自然会大叫，原来如此简单！且慢，笔者还是要详细解释一下，证明需要哪些前提。

“负负得正”无非是负数乘负数等于正数的简单说法。然而，在讲负负得正时，老师并没有定义负数的乘法，有的只是正数的乘法，甚至正数乘负数也没有定义，而这恰恰是问题的关键所在。

当然，在有其他正数，例如正有理数、正实数等之前，我们只有正整数，1，2，3，4，……，这些数理所当然地称为自然数。不过，在教科书中，往往把0（零）列为自然数的第一名，这其实并不自然。我们知道正整数已有成千上万年，而0作为“数”，不到两千年。请不要把单个的0和表示数中的0混淆起来，两千年之前，各民族没有零也能表示正整数，希腊人用了许多表示5，10，50，100，500，1000…的符号，一样能表示常用的整数。还是中国人聪明，发明了位值制，在现在用零的地方用空位就是了。一切用有限符号表示正整数，其结果都必须有个0，这样，表示及计算都十分方便。可是0作为单独数出现，给我们带来很多的数学问题。

我们还是回到没有0的正整数的世界。有了正整数，我们就有了正整数的运算，正整数的运算直接把我们引向现在的数字化世界。所有正整数都可以进行如下的运算：

加法  m＋n

乘法  m×n＝n＋n＋…＋n

                 m个

乘方  nm＝n×…×n

            m个

当两个正整数施行这3种运算时，我们知道，必定存在一个且惟一一个正整数是它们运算的结果，它们分别称为m加n的和，m倍n的积，n的m次幂。正是由于运算结果的惟一性，才能保证我们的世界运行正常。对于所有正整数的数学，你不能随便闹革命，你不能改革与创新，只能遵照执行。

正整数的运算有什么特点呢？那就是所有运算都归结为加法的运算。加法符合交换律及结合律，因此，乘法及乘方的运算规律都可以由加法运算规律和乘法及乘方的定义推导出来。

正整数的一切美妙都由于0及逆运算或者逆元素的引进而引起麻烦。我们在小学就知道，0不能做除数。因此，0与其他的正整数不是平起平坐的。如果只限于加法与乘法，0还可以被接受，只要我们接受0＋0＝0、0×0＝0。此时此刻，我们没有太改变正整数的运算定义及规则，特别是

m×0＝0＋0＋…＋0＝0

           m个

即使这样，如m是正整数，m0需要定义，而00没有定义。

当数推广到负数时，自然会产生新的麻烦。首先，我们必须定义什么是负数。从正整数的观点看，负整数是正整数的反数或逆数，这是对加法而言的。也就是一个正整数和它的反数相加为0。如果说m是个正整数，按照定义，m是m个1的和。这样，-m可以看成是m个-1之和，而如果让加法交换律成立的话，-m可以定义为（-1)×m，而当n是一个正整数或0时，（-m)×n＝(-1)×m×n，只要负数也满足乘法结合律，这样，负数乘正数的计算是完全可以合理定义的。

当然，我们还应该定义负数的加法，其中包括正数和负数的加法，负数和负数的加法，这些都不难从“加负等于减正”这个原则推出来。只要明白加减法，负数并不造成什么困难，而且正整数的运算规律都完全满足。

上面谈到负数乘正数也可以由正整数的乘法推广而来，这不会产生任何困难。0与负数的乘积显然也是0，因为若不是0，则它加上相应的正整数就引起矛盾。

 所有这些都不能自然推出（-1)×(-1)＝+1，碰到这种问题可以有两种选择：一种是硬性规定（-1)×(-1)＝+1，一种是把它作为未知数由公认的公式推导出来。这就是：(-1)×0=0

（-1)×[(+1)＋(-1)]

＝(-1)×(+1)＋(-1)×(-1）

＝(-1)＋(-1)×(-1)＝0

因此，（-1)×(-1)＝+1

每当得出一个证明时，我们必须记住，不能把要证明的结论偷偷地运用到证明中去。为此，必须把证明用到的前提检查一番。

    我们用到的前提是：

1. 负数的定义，

2. 正数和负数的加法的定义，

3. 正数和负数的乘法定义，

4. 正数的运算规则，即交换律、结合律，特别是加法、乘法的分配率。

所有这些都是正整数的乘法定义和运算规则的自然推广。“负负得正”是水到渠成。而真正伟大的思想在于逆运算及逆元素的概念，后来的推广都基于这个思想，也就是说，缺什么补什么。

 西方数学所走的几何路线，长期排斥负数的概念，他们很难想象长度、面积等几何量是负的，更不用说负负得正。因为数学归根结底是玩抽象概念的，而数就是数学中第一个抽象概念，其中的问题不可胜数。  

（本文发表于《科学世界》2009年第4期）