互动科普

用牛顿的微分法求切线的斜率

这里，我们按照牛顿求切线斜率的方法来作实际计算。例如，计算公式“y＝x²”表示的曲线上通过点（3，9）的切线的斜率。

按照牛顿的思路，我们从动点已经来到点A（3，9）的那一时刻开始，并把动点在瞬间时间“o”在x轴方向和y轴方向移动的距离分别记作“op”和“oq”。

经过“o”瞬间时间，动点移动到了点A′(3+op，9+oq），现在将A′的坐标值代入曲线公式“y＝x²”。

只要求出动点移动所形成的“直线A－A′”的斜率就等于得到了通过点A的切线的斜率。使用牛顿发明的计算方法不难实际求得通过点A的切线的斜率。

牛顿把他发明的这种计算切线斜率的方法称为“流数术”。这是因为牛顿本人当时是把曲线上动点的速度叫做“流数”（fluxio)。

这样，牛顿使用流数术终于成功地解决了这个“切线难题”。这种流数术就是现在所说的“微分法”。微分法是用来计算切线斜率的一种方法。

据说，牛顿在1665年就产生了这种流数术的基本思想。那时牛顿才23岁，真正从事数学研究才不过一年。

为任何一种曲线引切线的有力工具—— “微分”

使用微分法可以求得曲线“y＝x²”的通过点（3，9）的切线的斜率。用同样的方法还可以计算出通过其他任何一点的切线的斜率。不过，如果要知道曲线上每一点的切线的斜率的话，对每一点都进行前面介绍的计算，计算量会大得惊人。

其实，曲线“y＝x²”上任何一点的坐标都可以表示为（x，x²）。这里，我们就来介绍使用前两页介绍的计算方法如何利用这个普遍坐标（x，x²）来求出任何一点的斜率。

利用（x，x²）进行计算，方法与前面相同，所不同的只是将数字换成符号。这里略去计算的过程，只给出结果：通过点（x，x²）的切线的斜率等于“2x”。

这个用符号表示的斜率是什么意思呢？例如，若x＝3，点（x，x²）就是点（3，9），这一点的切线斜率便等于2x＝2×3＝6。这就是说，知道了点（x，x²）的切线斜率等于“2x”，利用这个结果，无需进行前两页的那种计算，马上就可以求得点（x，x²）的切线的斜率。“2x”是曲线“y＝x2”的切线斜率的“普遍表达式”。

在数学上，像“y＝x²”这样的表示x和y之间关系的数学式被称为“函数”。这里使用微分法从数学式“y＝x²”得到了“2x”，换句话说，从原来的函数得到了一个表示切线斜率的新函数。

利用微分法从原来的函数得到的这个新函数叫做“导数”。求导数则叫做“对函数进行微分”。

牛顿的微分法不仅可以应用于抛物线（二次函数），也可以应用于包含有“x³”（三次函数）或“x⁴”（四次函数）的其他函数。在下图中给出了几个包含有“x的n次方”的函数及其导数的例子。比较原来的函数和导数，可以看出两者之间存在着某种对应“规则”。

 对xⁿ函数进行微分

这里图解的上图表示的是形式为“y＝xⁿ”(n＝3，4）的函数，下图表示的是分别对这些函数进行微分得到的“导数”。对应的上下两图中的x轴相同，但是下图中的y轴表示的是上图中直线或曲线的切线的斜率值。

原来，对形式为“y＝xⁿ”的函数进行微分，得到的是形式为“y＝nx^n-1”的导数。这是最重要的基本微分公式之一。

导数是分析原来的函数“如何变化”的非常有用的工具。接下来将通过例子来介绍导数的这种应用。

使用微分，可以知道什么时候有什么变化

牛顿发明的微分法可以为抛物线引切线，自然就可以用来求出时时刻刻都在变化的炮弹的行进方向。

如前两页的介绍，牛顿的微分法并不是仅能应用于抛物线。事实上，牛顿的微分法可以应用于种类不同的各种曲线（函数）。

例如，对于下面画出的这种像过山车轨道的起伏曲线，只要知道了表示曲线的数学式（函数），也可以使用微分法。对图解上面曲线的数学式（函数）进行微分得到的导数，其图线表示就是图解下面给出的曲线。

由切线的斜率看出曲线的“变化”

图画出的是表示过山车轨道的曲线，曲线上还画出了不同地点的切线。在下图画出的新曲线上，纵轴坐标表示上图曲线对应切线的斜率。在此图上，红色是斜率为正值的区域，蓝色是斜率为负值的区域。上下两图的横轴同样都表示水平距离。

即使不知道原来曲线（上图）的形状，由它的切线的斜率（下图）也可以推测出它的形状。例如点G，此前斜率为正值，在这里变为零，其后再变为负值。由此可以知道点G是原来曲线的“山顶”。

这条导数曲线清楚地显示了原来曲线的“弯曲情况”。例如，在这条曲线上可以看出，点G是一个转折点，原来曲线的斜率正好在这里由正值变为负值。这表明原来曲线上的点G是“山顶”。此外，在下面导数曲线上还可以看出原来曲线的哪些地点是在上升，哪些地点是在下降，以及上升或下降的陡峭程度。

在现实世界中有各种各样现象，将它们画成图线不一定是圆或者抛物线，还可以是其他各种不同的曲线。例如，可以是三次函数（如y＝x³），也可以是三角函数（如sinx），等等。

对这些表示各种现象的不同曲线（函数）使用微分法求出导数，便可以对所得到的导数曲线进行分析，知道原来曲线在何时为最大（山顶），何时为最小（谷底），以及变化的激烈程度（上升或下降的陡峭程度）。

牛顿发明的微分法是用来正确分析变化世界的一件非常有用的数学工具。

（本文发表于《科学世界》2011年第4期）