互动科普

受鲁比克魔方的启示，一批新型益智数学游戏出现了 。通过玩游戏，益智游戏爱好者们有机会窥见到名为“散在单群”的数学实体的众多奥秘。

上世纪80年代，一种名叫“鲁比克魔方”（Rubik’s Cube）的益智玩具风靡全球，数百万人为此绞尽脑汁。如果你错过了这玩意儿，或者是没有赶上那个年代， 现在就给你补一课：鲁比克魔方是一种塑料做的小玩具，看上去是由27个小方块构成的一个大正方体，每条棱上各有3个小方块。魔方的6个面均为正方形，分别涂上一种鲜艳的颜色，通常是蓝色、绿色、橘黄色、红色、黄色和白色。之所以说魔方“看上去”由一些小方块构成，是因为那只是外观带来的假象。魔方里面隐藏着非常精巧的机关，使我们能够绕着魔方任意一个面的中心旋动该面（参见第70页框图）。这个机关是一位名叫厄尔诺·鲁比克（Erno Rubik）的匈牙利教师在1975年发明的，并申请了专利；日本工程师石毛照敏（Terutoshi Ishige）在1976年也独立发明了魔方。随随便便将魔方拧上几下，就可以改变它的外观，然而要想让魔方恢复原来的样子，就没那么容易了。玩魔方的目标，就是将被打乱的魔方还原，回到每个面都是单一颜色的状态。

鲁比克魔方、鲁比克多面体以及随着魔方走红而冒出来的众多类似游戏统称为“排列难题”，因为它们都涉及重新排布游戏中的“棋子”（对鲁比克魔方而言，棋子就是那些小方块）。游戏的目标是要把打乱的棋子恢复到某个预设的局面，通常就是原始状态。排列游戏与一种名为“置换群”（permutation group）的数学实体密切相关。置换群指的就是游戏中棋子所有不同排列状态的集合。

在数学上，群可以理解为对一类算术方法的概括。例如，所有整数（包括零及正整数和负整数，即0，±1，±2……）与加法运算一起就构成了一个群。但是群也可以由其他实体构成，比如说物体的旋转和反射、对字母集合或某类东西的集合所进行的各种置换操作，以及数字方阵等等。对一个集合内的元素进行规定的运算，计算结果仍属于该集合，那么这个集合与计算法则就构成了一个群。

群论不仅在纯数学研究中是个有趣的课题，在其他领域里（如结晶学、基本粒子物理学、弦论乃至通信行业等）也大有市场。对于学生和科学家而言，熟悉群的性质既富有挑战性，也具有重要的科学意义。求解鲁比克魔方，其实就是熟悉群论的一条绝佳途径，人们可以借此研究某些类别的抽象群的元素是怎样组合的。

不过，玩魔方一旦玩到了大师级水平，常常就会发现，用破解魔方的策略来摆平那些跟魔方类似的排列难题也不在话下。说实话，排列难题的魅力已经逐渐消失，至少我们玩魔方的感受就是如此。但是我们也明白，魔方渐渐让人厌倦，主要是因为数学方法单一的缘故。所有类似魔方的游戏都代表着某种一般类型的群，因此运用同一类的破解方法，就可以把它们统统搞定。然而这些群根本就不能反映群这个概念在数学上的多样性。

着眼于教育，我们期望找到一种有趣的方法来培养人们对另一类群的直觉，而这类群完全不同于魔方所代表的那一类群。作为智力游戏的爱好者，我们也期待着新的游戏，且破解这类游戏所需的策略，与破解魔方及其他类似游戏所用的方法有实质性的不同。因此，我们设计出3个以“散在单群”（sporadic simple group，参见72页框图）为基础的新游戏。散在单群的性质令人称奇，但除了专家，恐怕没有几个人知道。幸运的是，我们同事破解这些游戏的经验证明，不管什么人，只要他能够领悟魔方的玩法，就可以通过破解我们设计的游戏，深刻地认识散在单群。这些游戏之所以让人着迷，还有这样一层原因：用对付魔方的方法来破解这些游戏只会徒劳无功。这正是新游戏的魅力所在。读者可以登录《环球科学》网站（http://www.sciam.com.cn/article.php?articleid=2101）来尝试破解这些游戏。

游戏与群

我们利用散在单群设计了新的游戏，要破解它们，就有必要学习一下散在单群，同时也要了解散在单群与鲁比克魔方所对应的鲁比克群有何区别。群按大小可分为有限群与无限群。我们前面提到过的整数加群（additive group of integers）显然是无限群。鲁比克群的元素则是有限的，尽管鲁比克魔方所有合法操作序列组成的集合是无限的。理由在于，如果从相同起始状态出发的两个操作序列最终达到了相同的结果，这两个操作序列就被看作是等价的操作序列。对于鲁比克魔方，不同小方块的排列总数是一个天文数字，约为4×1019，准确地说是43,252,003,274,489,856,000。尽管鲁比克群的元素（即各种不同操作步骤的组合）数目非常庞大，但仍是有限的。

虽然操作步骤繁复无比，但只要遵循几条一般性法则，便不难破解魔方。准备好铅笔、纸和一个魔方（最好是处于原始状态的魔方）。你的目标分两个阶段：首先，要用简便的方法来记录操作步骤（见本页框图）；找出比较简短而又能完成一些特定任务的操作序列，比如交换位于魔方顶点或棱上的一对小方块等（见第71页上的框图）。总的思路就是，系统地把各种操作序列组合起来，以复原一个被搅乱了的魔方。

事实证明，这种反复试验的系统方法总是会得到一些有用的操作序列，使你在破解魔方时游刃有余。简略地说，这是因为鲁比克群的基本代数成分是对称群。对称群由一定数目的对象的所有可能排列方式构成。每个对称群都有一个名为交错群的“近亲”，它的元素数目为对称群的一半。比方说，对称群S3由3个对象的所有可能排列方式组成，共6种（3！＝1×2×3，见第72页的框图），而作为其近亲的交错群A3则有3个元素。与鲁比克群有关的对称群包括对称群S8和S12：前者由位于魔方顶点的8个小方块所有可能的排列方式组成，共计8！＝40,320种排列方式；后者由魔方棱上的12个小方块所有可能的排列方式组成，共计12！＝479,001,600种排列方式。

对称的“原子”

我们的新游戏也属于组合难题，但每一款游戏都以散在单群为基础。为了弄清散在单群的意义，我们先来看看子群（subgroup）的概念。假定你只能转动魔方蓝色或黄色面，在这一限制下，你永远也不能转动绿色或白色面上的小方块。因此，受限制时的操作序列数目将小于整个鲁比克群的元素数目。对于某一游戏所对应的群来说，只要操作步骤的某个子集内的元素通过所有排列组合后得到的仍是该子集内的操作步骤，那么这个子集就称为子群。除了这点比较容易理解之外，单群（simple group）概念的其他部分就相当专业了。因此，本文我们只强调单群不包含任何“真子群”和“正规子群”（详细解释请参见第72页）。

群论中使用“简单”（simple）这个术语来描述单群，这可能是数学史上最名不副实的事例了。单群其实并不简单，它涵盖了数学家们已知的某些最复杂的数学实体。不过，它们是群论中最基本的构造单元，可以说是群论世界中的“原子”——从这个意义上说，它们的确又是“简单”的。在一定程度上，单群与质数比较相似（质数是只能被它们本身和1整除的数，如2、3、5、7、11等等）。每个有限群都可以唯一地“分解”为若干单群，就像任何整数都可以分解为若干质数的乘积一样。

现在所有的有限单群都已经被找出并分门别类。数百位数学家不断努力，从19世纪60年代到20世纪80年代，陆续发现了这些单群，并在20世纪40年代到20世纪80年代初期完成了分类，之后还进行了一些修正。发现单群的研究报告，以及对最终单群列表并无遗漏的证明，在各种专业数学杂志上占了10,000多页的篇幅，分布在500多篇论文中。现在数学家仍在试图简化证明，以帮助阐明数学家对单群的认识。现有证明显示，有限单群共18大类，每一大类都包含无穷多个特殊类型的群。此外还有26个所谓的散在单群，它们比较古怪，事实上就是独立数学实体。除此以外再没有其他的单群了。

散在单群游戏

我们用名为M12、M24和Co1这3种散在单群构建了游戏。这些游戏同鲁比克魔方一样，都属于排列难题，但是对于容许的排列方式，散在单群的限制要比对称群严格得多。因此，在我们的几款游戏中，有大量的数字排列都无法实现，无论走多少步都不行。

前面我们已经指出，对于那些破解魔方或其他基于对称群的游戏行之有效的方法，用在这些新游戏上只会碰一鼻子的灰。但是，我们可以仅凭关于群的几个小提示来找出其他方法。

三款游戏中最简单的一个是M12，它是根据同名的散在单群构建出来的。M12群是最早发现的5个散在单群之一——这5个散在单群是法国数学家埃米尔·马蒂厄(émile Mathieu)在19世纪60年代发现的，因此统称为马蒂厄群。游戏规则是这样的，将1到12这12个数字打乱次序排列成一行，对这些数字只允许进行颠倒和混插这两种操作，不过这些操作可以按任意顺序进行任意多次（见第73页）。游戏的目标是把打乱排列的12个数字的顺序恢复，即1，2，3，……，12。

对有兴趣的读者朋友，我们只给一点提示：在这款游戏（以及M12群）中，可以把任意5个数字移动到这一行12个位置中的任意5个位置上。一旦完成这项移动工作，剩下的所有数字即可各就其位，游戏遂告破解。理由如下：M12群有12×11×10×9×8即95,040种排列方式，恰好等于从12个数字中选出任意5个并把它们按某种次序排列的方式的总数。（第一个数字可以排在12个位置中的任意一个位置上，第二个数字则可以排在剩下11个位置中的任意位置，以此类推。）只要固定5个数字的位置就能确定整个排列，这意味着寻找一个仅仅使几个数字移动的操作序列是没有意义的。除了所谓的“虚操作”或“空操作”（也就是让数字排列保持原状不动）以外，每一步操作中位置保持固定的数字都必须少于5个。换言之，每个非平凡（nontrivial，即至少一个变量的值不为零的或与此相关）的操作序列必须移动12个数字中8个数字的位置。

怯懦者勿入

第二款游戏名为M24，它有24个数字，其中23个数字像钟面上的数字一样排成一个圆圈，第24个数字则置于钟面上12点位置处的圆圈外侧。同游戏M12一样，游戏M24中也只允许两种操作——旋转与交换（详见第73页）。原则上，游戏M24不仅可以在电脑上进行，也可以用真实的零件制造出游戏模型：排列成圆圈的23个数字可以用旋转装置来移动，一套齿轮系统则可以按指示来完成两个数字的交换。

按规则对M24进行操作，得到的排列就构成了马蒂厄群M24。与M12一样，M24具有“5-可迁”（five-transitive）性，即通过运用两种操作，可以使24个数字中的任意5个数字排放在24个位置中的任意5个位置上。由于具有5-可迁性，我们对破解游戏M12所作的提示也可用来帮助破解M24：只要设计出可以让数字1至5回到其正常位置，同时又不会影响已经就位的那些数字的操作步骤。不过对于M24，这个解法还不算完。M24群有24×23×22×21×20×48即244,823,040个元素，因此，即使在1到5这五个数字各归其位以后，剩下的19个数字在圆圈上仍有48种不同的分布方式。

最后一款游戏叫做Dotto，是以康维群Co0为基础构造的，普林斯顿大学的数学家约翰·H·康维（John H. Conway）在1968年发布了这个群。Co0群包含散在单群Co1，它的元素数目恰好为Co1的两倍。康维非常谦虚，没有用自己的名字给Co0群命名，而是将这个群表示为“.0”（读作“dotto”）。

至于Dotto游戏的细节，我们只得放到网络上去慢慢说了。不过这里我们要指出，该游戏以及隐藏在其中以此为基础的群都有引人入胜的数学玄机。此游戏与“Leech格”（Leech lattice）有密切的关系。Leech格是24维空间中的一个“点”集，即有序数表的集合。在24维空间中，把24维“球体”的球心置于点阵的各点上而实现的所有球堆积中，以Leech格为基础的球堆积是最紧凑的。

小魔群与大魔群

大小超过Co1群的散在单群只有4个，即扬科群J4（Janko group J4）、费希尔群Fi24（Fischer group Fi24）、小魔群B（Baby Monster B）以及大魔群M（Monster M）。大魔群之大绝非浪得虚名，它拥有的元素有8×1053个之多，是所有散在单群中最大的一个。密歇根大学安阿伯分校的小罗伯特·L·格里斯（Robert L. Griess, Jr.）在1980年构建了这个群，它是196,884维空间中某个复杂数学结构的变换群。

我们没有尝试用其他散在单群来设计游戏，但对某些散在单群来说，也可以构造出相应的游戏。不过，弄出一个以大魔群为基础、又可以实际操作的游戏，那可真是一项非常恐怖的数学工程。原因在于，虽然有人猜测大魔群就是某个24维弯曲空间（curved space）的置换群，但现在我们还无法得知大魔群是否某个小而直观的实体的置换群。如果能成功地设计出一个“魔群游戏”，数学家离证明这个诱人的猜想就更近一步了。