互动科普

“魔方皇后”的创新图案

匈牙利人鲁比克在20世纪70年代中期发明的魔方是有史以来最具有挑战性的智力玩具之一，曾经风靡全球，现在仍然为广大青少年所喜爱。魔方中所蕴含的数学问题，尤其是它同群论的密切关系，也使它成为数学家所关注的对象。

魔方的玩法主要有两种。一是六面还原，即把打乱的魔方恢复为原始状态。科学家和魔方迷们已经总结出许多有效的、各有优缺点的方法供不同的对象使用。熟练的玩家可以在几十秒甚至几秒的时间里把魔方复原。另外一种玩法是在魔方的6个面上形成美丽的图案。科学家和魔方迷们也已经创造出许多色彩斑斓的有趣图案。但这种玩法至今主要靠摸索，没有一般规律可循，因此需要更加丰富的想象力和更强的创造力。

20世纪80年代初，德国（当时还是西德）的《科学画报》曾经发起、组织过一场魔方比赛，要求设计符合如下要求的魔方图案，使魔方6个面都包含6种颜色，且图案有规则。最后，一名德国妇女胜出，她设计的图案完全符合竞赛要求：每个面的中心十字由5个不同颜色的小面组成，四角是另一种颜色的小面，如图1所示。

图1. “六色同堂、四角同色” 图案

这个图案非常和谐、漂亮，有人给它起名“六色同堂、四角同色”，也有人给它起名“五彩十字”。设计出这个图案的妇女因而获得了“魔方皇后”的称号。               

这个德国妇女是一个知识女性。她是通过计算机程序实现这个图案的，用了如下50步操作序列：

D′  B2  MR2  B2  MR2  D2  R2  MF2  R2  MF2  D′

R2  MD2  R2  MD2  MF2  MR  MF2  MR′  MD′

MF2  MD  MF2  MD′

（F  MR′ )4（L  MD′ )4 F（L  MF′ )4  F′

以上操作序列表达式中，F、B、U、D、L、R是最简单的外侧面操作，分别表示顺时针转动前面（F）、后面（B）、顶面（U）、底面（D）、左面（L）、右面（R）90°；前面有M的表示夹心层操作，以MR为例，是左、右面之间的夹心层操作，先把右片和中片一起顺时针转90°，然后把右片逆时针转90°，余类推。操作符号后面右上角加′ 表示该操作要反方向进行；操作符号或操作序列（用括号括起来的若干个操作）后面的数字表示该操作或操作序列要重复执行若干次。

后来逐步改进

魔方皇后的这个操作序列实在太长了，应该大有改进余地。实际上，我国杨迅文先生早就发现了一个能实现以上图案的49步的操作序列：

B′ F′ L2  R2  B  F  U  R2  L2  U2  B2  F2  D′  U2

L  R′  U′  L  R′  F′  L  R′  D′  L  R′  B′   D2  U2  F

L  R′  D  L  R′  B  L  R′  U  R2  D′  U′  B′  F′ R′  L′  D′  U′  B′  F′         

杨迅文先生的49步操作，形式上看虽然只比魔方皇后的操作少1步，但因为魔方皇后的操作序列中用了大量夹心层操作，一个夹心层操作实际上需要两个动作，而杨迅文先生的操作序列中只有基本的外侧面操作，完全没有夹心层操作，因此，实际操作起来要快捷得多，优势是很明显的。

然而，美国学者最近已经证明，任何魔方都可以在20步以内实现六面还原。这说明，任何魔方图案可以在20步以内实现，因为魔方六面还原的最快办法是执行原操作的逆操作，也就是说，用什么样的操作序列把魔方打乱，那么，执行这个操作序列的逆操作一定可以把魔方还原。既然任何魔方都可以在20步以内实现六面还原，意味着任何魔方图案也都可以在20步以内实现。

经过摸索，我们终于找到了实现上述“六色同堂、四角同色”图案、但只有19步的操作序列，远远地打破了魔方皇后的记录，也大大地优于杨迅文先生的操作序列：

U′  L2  D  U  R  B′  F′ D′  U′  R2  U′  R2  F2  R2  D  L′  R′ F′ U’

（本文发表于《科学世界》2011年第5期）