互动科普

反复相乘

如果用米为单位来表示可观测的宇宙的大小，那么它的直径是88000000000000000000000000000米。而氢原子核的大小，则约为0.000000000000001米。像这样，要表示非常大的数字或者极端小（接近零）的数字，经常要用到“指数”。“指数”和对数是有关联的。让我们先来分析指数的性质，做一下准备活动，然后再讨论对数。

使用指数，可以把可观测的宇宙的大小写成8.8×10²⁸米，非常简洁。读作：“8.8乘以10的28次幂。”意思是8.8和10自乘了28次以后的数再相乘。这里的28，表示的是同一个数（这里是10）反复自乘的次数，它被称作“指数”。

同样，小于1的数反复自乘时，可以用负数作为指数。例如，氢原子核的大小是1.0和“1/10”自乘了15次以后的数再相乘。使用“-”号来表示的话，就是1.0×10^-15米，意思和1.0×（1/10）¹⁵相同。

 “反复自乘”隐藏着的爆发力

现在介绍一个有趣的使用指数进行计算的例子。有一个贵族问一个聪明人想要获得什么奖赏，聪明人说：“你第一天给我1粒米，第2天给我2粒米，第3天给我4粒米，第4天给我8粒米，以此类推，每天给我前一天2倍的米，连着给30天如何？”贵族听了此话，说：“你太客气了。”就准许了他的要求。可是，等到快要到30天的时候，才发觉自己同意了一个多么可怕的要求。因为，第30天，他要给与的米粒是536870912粒（1×2²⁹粒），这些米要用200个草包才能装下。要是再过10天，就会达到549755813888粒（1×2³⁹粒, 要用20万个草包才能装下）。

因此，使用指数表现的“反复自乘”隐藏着难以想象的爆发力。我们常常用“像指数般增长”来形容非常激烈的增长趋势。

现实生活中的“同一个数字反复自乘计算”

相同的数（米粒的例子里是2）反复自乘会出现各种各样的情况。例如求细菌数量（细胞分裂）的计算，就是反复自乘计算（这种情况下自乘的数也是2）。反复自乘计算就是指数和本文的主题—对数的本质。

音阶是1.06倍的反复自乘

令人意外的是，音阶“哆来咪发唆”居然会出现在反复自乘计算中。这是因为弦乐器所弹奏的音所对应的弦的长度（准确地说是振动部分的长度）是1.06倍的反复自乘。音的高度由弦的长度决定。所以，想要将音的高度下降一个“半音”，就要把弦长增加到原来的1.06倍。再要下降一个“半音”，就要把弦长增加到原来的1.06×1.06,即1.12倍。若再下降一个“半音”，就必须要把弦长增加到原来的1.06×1.06 ×1.06,即1.19倍。所以说是1.06倍的反复自乘计算。

这个原理可以从观察吉他来确认。吉他上有“弦枕”，按着不同的“弦枕”，弦的振动部分的长度不同（音的高度不同）。从弦的根部到各个“弦枕”的弦的长度是以1.06倍的比例分布的。从底部往顶部逐个按“弦枕”，弦的长度以1.06倍递增，音一个个“半音”地下降。因为是1.06倍的反复自乘，请注意，“弦枕”之间的间隔是不同的。

并且，跨1个八度（比如从高音“哆”到低音“哆”），分成12个半音。1.06反复自乘12次（1.06¹²)，约等于2。也就是说，当音阶降低一个八度，弦长增加到2倍。

1.06这个数字可以从关系表达式“r¹²=2”计算得到。r就是每下降一个半音，弦长增加的倍数。12表示一个八度由12个半音组成。2表示跨一个八度弦长增加2倍。那么，用通常方法求解r是非常复杂的，而利用“对数”来计算却是非常省力的，几乎是举手之劳。

音阶是1.06倍的反复自乘

吉他是用手指按着“弦枕”，同时拨动弦弹出声音。“弦枕”从弦的根部开始以1.06倍的比例分布。按不同的“弦枕”，弦的长度发生变化，弹出的音也不同。弦的振动部分的长度以1.06倍增加时，音也一个个“半音”地下降。其中“咪”和“发”、“西”和“哆”不是全音（间隔2个半音）而是半音。

当然，弦的粗细和绷紧程度不同，音的高低也不同。每个吉他有6根弦。根据设计，即使按在同一个“弦枕”上，各根弦弹出的音也各不相同。第1弦和第6弦之间的音阶正好相差两个八度。

“反复自乘计算”在经济学和自然界中都是无处不在的

存款利息的计算也是反复自乘计算。例如存10万元，年利率为1%，存5年。年利率1%的意思是，存款一年后，存款和利息的总和是当初存款的1.01倍。2年后又是1.01倍，3年后再1.01倍，如此反复自乘计算。5年后的金额变成10×1.01⁵万元（10.5101万元）。

反复自乘计算不一定使数量增加，如果反复自乘一个小于1的数字，结果就会越来越小（趋向于0）。放射性物质的衰变就属于此例。

放射性物质会由于原子核的衰变而变成其他物质的原子。不同的物质其比率不同，但对于每种物质是一个固定值。某种放射性物质以固定的比率发生衰变，当其数量达到原来的一半时，所经过的时间称为“半衰期”。1个“半衰期”之后，放射性物质的数量减少到原来的1/2，2个“半衰期”之后，放射性物质的数量减少到原来的1/4。这也是反复自乘计算。

例如“碳14”这种放射性物质，半衰期为5730年。因核电站事故泄漏的“铯137”的半衰期为30.1年。

（本文发表于《科学世界》2013年第11期）