互动科普

为什么使用对数能够简化计算—指数法则

从这里开始，我们剖析使用对数能够简化计算的理由及其核心。仔细观察指数和对数具备的重要法则。

让我们看看指数法则。例如乘法2²×2³。2²×2³=（2×2）×（2×2×2）。就是将2连乘（2次+3次）之后的积再乘起来。也就是2²×2³=2²⁺³。这就是化乘法为加法计算。用通用公式表示，就是a^p×a^q=a^p+q（指数法则①）。但是要注意，比如2⁴×3⁵这样的，自乘的数字不同时（前一个幂的底数是2，而后一个幂的底数是3）是不适用这个法则的。

然后，让我们看看（2²)³。（2²)³是2²自乘3次的意思。(2²)³=2²×2²×2²。用通用公式表示，就是（a^p)^q = a^p×q（指数法则②）。

那么（2×3)⁴如何计算？(2×3)⁴= (2×3)×(2×3)×(2×3)×(2×3)= (2×2×2×2)×(3×3×3×3）所以(2×3)⁴=2⁴×3⁴。用通用公式表示，就是(a×b)^p=a^p×b^p（指数法则③）。

这3条法则是对指数计算非常有用的，也是引导出接下来要介绍的对数法则所必须的。特别是指数法则①的“化乘法计算为加法计算”是根据下面要介绍的对数第一法则进行的。这也是“使用对数简化乘法计算为加法计算”的理由，务必牢牢记住。

如下3个指数法则，用前面说明过的以外的数字举例。有兴趣的读者可以再看看下面的说明。

化乘法计算为加法计算—对数法则①

接下来让我们继续看对数法则。公式比较多，也许有人会感到比较枯燥乏味，正是这里才是需要加油的地方。只要理解了本节的内容，就可以理直气壮地说理解了对数。先从对数法则①开始，通过具体的例子来说明法则是怎么被总结出来的。

看一个以10为底的对数log₁₀100000。

100000=10⁵，所以log₁₀100000的值是5。如果把100000看成是100×1000。log₁₀100000= log₁₀(100×1000）,并且它的值是5。

换一个角度，log₁₀100的值是2，因为100=10²。同样，log₁₀1000的值是3，因为1000=10³。那么，让我们计算一下log₁₀100+log₁₀1000的值。

log₁₀100+log₁₀1000=2+3=5。

我们回想起刚才说过：log₁₀(100×1000）的值是5。

log₁₀(100×1000）

log₁₀100 + log₁₀1000

这两个算式是一致的，也就是：

log₁₀(100×1000）= log₁₀100 + log₁₀1000。

这不是偶然的。是根据对数法则①得到的结果。可以确认一下写在下面的证明。

看一看对数法则①的通式，log_a(M×N） =log_aM + log_aN。要注意的是M×N的乘法计算，变成了log_aM + log_aN的加法计算。这就是利用对数能够将乘法简化为加法进行计算的规律。

化除法计算为减法计算—对数法则②

接下来让我们看看对数法则②。这次考虑以10为底数的log₁₀1000。因为1000=10³，所以该对数的值是3。

让我门试试把1000看作是100000÷100。1000和100000÷100是同一个数，所以log₁₀1000 =log₁₀(100000÷100）。并且它们的值都是3。

因为100000=10⁵，所以log₁₀100000的值是5。因为100=10²，所以log₁₀100的值是2。

让我们看看log₁₀100000-log₁₀100。因为log₁₀100000和log₁₀100的值分别是5和2，所以log₁₀100000-log₁₀100=5-2=3。

那么，让我们确信log₁₀(100000÷100）的值也是3。也就是log₁₀(100000÷100）的值和log₁₀100000-log₁₀100的值是一致的。

那么，log₁₀(100000÷100）= log₁₀100000-log₁₀100）。

这也不是偶然的一致，而是根据对数法则②得到的结果。可以确认一下写在下面的证明。

将对数法则②用通式表示，log_a(M÷N）= log_aM - log_aN。

刚才的对数法则①是将乘法计算变成了加法计算，而对数法则②是将除法计算变成了减法计算。能将除法计算变成减法计算是对数法则②的贡献。

化幂为乘法计算—对数法则③

接下来让我们看看对数法则③。这次考虑以10为底数的log₁₀100。因为100=10²，所以该对数的值是2。

让我们试试计算log₁₀100²。

log₁₀100²=log₁₀(100×100)=log₁₀(10000）

并且10000=10⁴，所以log₁₀10000 = 4。

代入上式,

log₁₀100² = 4。

再试试计算一下2×log₁₀100。

log₁₀100=2，所以2×log₁₀100 = 2×2 = 4

也就是说,log₁₀100²和2×log₁₀100这两个计算式的值是一样的。

那么，log₁₀100² = 2×log₁₀100 。

这也不是偶然的，而是根据对数法则③得到的结果。

将对数法则③用通式表示：

log_a M^k = k×log_aM

请注意，这里k次幂的计算变成了简单的乘k的计算。这个法则在利用对数求“累乘”(○的△次幂）或“多次方根”(自乘2次得到2的数或者自乘3次得到5的数那样，求△次自乘得到□的数）时会发挥巨大的威力。

求2²⁹那样的计算，利用对数法则③也可以瞬间求得近似解。

（本文发表于《科学世界》2013年第11期）