互动科普

20世纪，一个阿根廷妇女丽娅·高洛蒂斯基（Lea Gorodisky）在西班牙出版的著名趣味数学杂志Snark上提出了一个十分有趣的问题，要求用1〜9这9个数字组成一个9位数，其前2位能被2整除，前3位能被3整除，前4位能被4整除⋯⋯8位能被8整除，整个数能被9整除。这样的数后来被叫做“累进可除数”（progressively divisible number）。对这个问题，如果穷举1〜9的所有可能的排列组合所形成的9位数，再逐一去验证其前n（n=1〜9）位是否能被n整除的话，其工作量将是无法承受的，因为要验证的数就有9！=355680个。实际上，当然不需要这样去做，因为显然，若n为偶数，则第n位（从左往右数起）必然为偶数，所以，2、4、6、8这几个数字必然分布在2、4、6、8这几个位上。又n若为5，则第5位必为5；这样，1、3、7、9这几个数字又必然分布在第1、3、7、9位上。因此，需要验证的数可减少至4！×4！=576个。对这576个数再逐一去验证其前n位是否能被n整除，最后结果就可以获得了。这样，问题归结为怎样判断一个数能否被2、3、4⋯8、9整除。下面我们先简要讨论一下这个问题。

整除性的判断

除了7以外，整除性都是有简单的判断法则的。任何数都可被1整除，这是不消说的。只要是偶数，就可被2整除；一个数若以0或5结尾，则该数可被5整除，也是显然的，不必多说。

一个数能不能被3整除，怎么判断呢？这要看这个数的数字根。所谓数的“数字根”（digital root）就是将这个数的各个数位相加，若其和多于一位，对其和的各个数位再相加⋯⋯直到只剩一位数，这个数就叫做该数的数字根。如果一个数的数字根为3或3的倍数，则该数可被3整除，否则不可被3整除。例如，52491的数字根为5+2+4+9+1=21，2+1=3，因此它可被3整除；4813的数字根为4+8+1+3=16，1+6=7，因此它不可被3整除。

一个数可被4整除，当且仅当其最后2位数可被4整除。道理很简单：任意数abc⋯xy可分解为100（abc⋯）+xy，而100及其任意倍数显然是可以被4整除的，因此，只要末尾的xy可被4整除，整个数也就可以被4整除了。

能被3整除的偶数，能被6整除。因为这样的数既有因子2，又有因子3，当然也就有因子6了。

一个数可被8整除，当且仅当其最后3位数可被8整除。道理也很简单：任意数abc⋯xyz可分解为1000（abc⋯）+xyz，而1000及其任意倍数显然是可以被8整除的，因此，只要末尾的xyz可被8整除，整个数也就可以被8整除了。可被4（即2²）或8（即2³）整除的判据，可以推广至2的任意次幂：一个数可被2整除，当且仅当其最后n位数可被2n整除。

一个数可被9整除，当且仅当其数字根为9。

一个数可被10整除，当且仅当该数以0结尾。这也是不消说的。

一个数可否被7整除，则历来没有一个简单的判据。比较古老的一个判别方法如下：把要判别的数从右至左各位分别乘1、3、2、6、4、5；1、3、2、6、4、5⋯⋯然后相加，若其和为7的倍数，则该数可被7整除，否则不可被7整除，而且其余数等于该数被7除的余数。

例如，要检查61671142这个数能否被7整除，用上述方法求和：

  2×1+4×3+1×2+1×6+7×4+6×

  5+1×1+6×3=99

  99÷7=14⋯余1

所以，该数不能被7整除。用7除该数的余数为1。

这个方法很麻烦，对于位数比较多的数，还不如直接做除法。而且1、3、2、6、4、5这个序列也不易记住。1956年，斯潘塞（D. S. Spence）在《The Mathematical Gazette》上提出了一种奇特的检验法：把要检查的数去掉最后一位，把这一位乘2以后从剩余的数中减去。所得结果再重复这一过程，若最后得到0或7，则原数能被7整除。例如上面这个数61671142，用该法的判别过程如下：

61671142： 6167114－2×2=6167110

 6167110： 616711－0×2=616711

  616711： 61671－1×2=61669

   61669： 6166－9×2=6148

    6148： 614－8×2=598

     598： 59－8×2=43

      43： 4－3×2=－2

结论：该数不能被7整除。

斯潘塞的方法基于以下原理：把要检查的数N分解为N=10x+y，把末位去掉，将其乘2以后从剩余的数中减去，相当于得到新的数M=x－2y。把它左右都乘10，变为10M=10（x－2y）。用原数N的表达式去减它，得

10M－N=10（x－2y)－(10x+y）

10M－N=－21y

∴ N=10M+21y

显然，21y是可以被7整除的，因此，只要M（=x－2y）能被7整除，N也就能被7整除了。

斯潘塞的方法比较容易记忆，可行；其缺点是在不能整除的情况下，不能根据最后结果获知该数除以7的余数。看来，数学计算还真有很多窍门呢。

累进可除数和幻方

有了以上各种判据，获得累进可除数就不难了，借助计算机程序的话就更加容易了，因为各种程序设计语言都有“取模”这个函数，也就是mod，可借以判断整除性，而mod函数在计算机中实际上也是利用上述各种判据实现的。最后我们可以获得的惟一的累进可除数如下：

      381654729

在这个累进可除数中，2、4、6、8这4个偶数刚好以逆序分别位于8、6、4、2位（从左至右）；如果把最低位当成第1位，那么2、4、6、8这4个数所处位数刚好与数字一致。1、3、5、7、9这几个奇数除了1、3颠倒了一下次序外，其余3个次序是顺着的。

累进可除数同3阶幻方之间有着奇妙的关系。如下图所示，我们从3阶幻方的右上角出发，画一条对角线把幻方分成两半，在左上角和右下角的3个数上各画一个顺时针的箭头，那么从上到下先后按箭头顺序取这3条线上的数，就形成累进可除数。

（本文发表于《科学世界》2011年第3期）