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为了提高大炮的命中率而研究炮弹的轨迹

同微积分建立有关的一个最早的研究课题是“炮弹的轨迹”，即研究炮弹是以怎样的轨迹飞行。

在16〜17世纪的欧洲，为了争夺霸权，各国之间战争频仍。为了提高威力强大的大炮的命中率，各国都在积极研究炮弹的飞行轨迹。

炮弹飞行的轨迹是曲线，这是显而易见的。但是，在很长一段时间，却没有人知道如何正确计算炮弹飞行轨迹的形状。

在16世纪，意大利科学家伽利略·伽利雷（1564〜1642）给出了这个问题的答案。

倾斜着向空中发射的炮弹，如果没有地球的重力，将沿着发射方向笔直行进。这种现象叫做“惯性定律”。

然而，受到地球重力的作用，炮弹会向地面坠落。伽利略设想，可以把炮弹行进的速度分解为两部分，一部分沿着重力方向（指向下方），另一部分沿着水平方向（指向前方）。他指出，水平方向的速度不变化，只有指向下方的速度随时间而增加。这种运动的结果，炮弹的飞行轨迹应该是一条叫做“抛物线”的曲线。

炮弹的轨迹是抛物线

向斜上方发射的炮弹，如果没有地球的重力，将按照“惯性定律”向斜上方笔直飞行。但是，在地球重力的作用下，炮弹会逐渐向地面（海面）坠落。这时，“水平方向”的速度不变，如图解上所显示的，炮弹向右行进的速度保持一定。

炮弹在“上下方向”的速度会随时间而改变。起初，在上升阶段，上升速度逐渐减慢，直到变为零。此后转为向下运动，下降速度逐渐加快。伽利略通过实验发现，下降速度与时间成正比增加。于是，炮弹的飞行轨迹是一条“抛物线”。

不过，由于存在着空气阻力，炮弹的实际飞行轨迹不会是一条真正的抛物线。

“坐标”出现，可以用数学式表示炮弹的轨迹

进入17世纪，出现了一件建立微积分必不可少的新工具，这就是法国数学家莱恩·笛卡尔（1596〜1650）和皮尔·费马（1601〜1665）创立的“坐标”。

坐标是在平面上利用任何一点到选定的某个原点的“纵向”距离和“横向”距离来表示该点所在位置的一种方法，道理同在地图上利用“纬度”和“经度”表示位置相同。

在数学上，从原点画一条“横轴”，称为“x轴”，再从原点画一条“纵轴”，称为“y轴”，这样，就可以用任何一点的一对坐标值x和y来表示该点的准确位置。例如原点的两个坐标x和y都为0，因而可以将原点的位置表示为（x，y)＝(0，0）。

事实上，使用坐标以后，直线和曲线也都可以用包含x和y的数学式来表示。例如有一条通过（x，y)＝(0，0），（1，1），（2，2）⋯⋯各点的直线，这条直线上各点的两个坐标x和y都彼此相等，因而可以用数学式“y＝x”来表示通过上述各点的这条直线。

如果选择发射炮弹的地点为原点，设x是飞行中的炮弹到发射地点的水平距离，y是飞行炮弹的高度，那么，我们也可以用一个包含x和y的数学式来表示发射后炮弹飞行的抛物线轨迹。

这就是说，有了坐标，我们就可以把现实世界中发生的某些现象用数学公式来表示。坐标的引入将需要处理的现实世界中的现象变成了数学问题。

利用坐标将炮弹的轨迹表示为数学式

选择发射地点作为原点，设x为水平方向到发射地点的距离，y为高度。水平距离和高度的单位都是米。观测发射后飞行的炮弹，知道它相继通过（x，y)＝(0，0），（20，19），（40，36），（60，51），（80，64）⋯⋯各点。

炮弹飞行的轨迹是一条“抛物线”。抛物线的一般数学表达式是“y＝ax²＋bx＋c”（式中a，b和c是不变的常数）。

将上面给出的坐标值代入这个抛物线一般表达式，计算得到a＝－1/400，b＝1和c＝0，于是得到表示炮弹飞行轨迹的数学表达式为“y＝－1/400x²＋x

前面曾经提到，如果没有地球重力，按照惯性定律，炮弹应该向着发射方向笔直飞行。在这个例子中，那条假想的惯性飞行轨迹可以用“y＝x”表示。

（本文发表于《科学世界》2011年第4期）