互动科普

如何正确预测炮弹的时时刻刻都在改变的行进方向

有了表示炮弹飞行轨迹的数学公式，于是，无需实际发射炮弹，也无需进行观测，就有可能通过计算而预知发射的炮弹会落在前方多少米的地点。

那么，是否也能够回答如下这个问题呢？

“发射出去的炮弹的行进方向如何随时间而变化？”

向斜上方发射出去的炮弹，它的行进方向会逐渐变得向下方倾斜。在炮弹离开炮口的一瞬间和过1秒钟后，炮弹在这两个时刻的行进方向是不相同的。即使经过0.0001秒，其行进方向也有变化。

这就是说，飞行的炮弹的行进方向时时刻刻都在变化，在任何一个时刻都不相同。

由表示炮弹轨迹的抛物线公式可以看出，炮弹飞行的水平距离（x）与其飞行的高度（y）之间存在着一定的关系。但是，从这个公式却无法看出炮弹的行进方向在其飞行的过程中一直在不断地变化。即使在这个轨迹公式中代入炮弹在各个时刻的位置坐标数值，也无法求出它在各个不同位置的行进方向。

炮弹的行进方向在不断变化

向斜上方发射出去的炮弹的行进方向在重力的作用下逐渐向下方倾斜。即使有了表示炮弹飞行轨迹的那个数学公式“y＝-1/400 x²＋x”，也仍然无法用这个公式直接求出比如说在水平方向到原点距离为300米位置的炮弹的“行进方向”。炮弹的行进方向在不断地变化。在当时还没有能够计算这种变化的数学手段。

那么，怎样才能够计算出炮弹的不断变化的行进方向呢？当时的许多学者都在想办法解决这个问题。显然，解决这个问题需要有能够计算变化的“新数学”。这种新数学就是后来出现的“微积分”。掌握这种新数学的关键在于了解“切线”。

引“切线”可以知道连续变化的行进方向

那么，怎样才能够求得炮弹行进方向的变化呢？

这里的关键是“切线”。简单说来，切线是仅与圆或抛物线一类曲线上的某一点相接触的一条直线（例如左页图解上的那条红色直线）。通过曲线上任何一点只能够引一条切线。这是因为，在画切线时，画出的直线的位置和倾斜度只要对真正的切线有稍许偏离，该直线都会与曲线的另一点相交，也就是说，它必然会通过曲线上的两点。

什么是切线？

使一条直线逐渐向一个圆靠近，这条直线最后会刚好在圆上的一点与之接触。这一点叫做“切点”，而这条与圆在一点接触的直线就是“切线”。如果不是只在一点接触，而是在两点接触，这样的直线就不是圆的切线。因此，通过一个切点只能够引一条直线。上图中的红色直线，表明通过圆上的一个切点只能画出一条切线。改变切点的位置可以画出圆的无数条切线。

在运动物体轨迹上通过各点所引的切线分别显示了各对应时刻物体的瞬时行进方向。例如链球运动员投掷链球，他手握链条先旋转自己的身体，拉住链条，使链球以自己身体为中心作圆周运动。旋转加速到最大速度，他突然撒手，将链球投掷出去。链球在他撒手前作圆周运动时，每一时刻，链球都是沿着圆周的切线方向行进。这一点，可以从链球运动员撒手瞬间链球沿着圆周的切线方向飞出得到证明。

切线显示行进方向，对于抛物线运动也是如此。像炮弹一样作抛物线飞行的物体，比如运动员投掷的铅球，在每一时刻，物体也都是在沿着抛物线的切线方向行进。

这就是说，只要能够确定各个时刻的切线，就可以知道炮弹行进方向的变化。如何为曲线引切线的问题叫做“切线难题”。笛卡尔和费马这样一些大学者当时都研究过这个切线难题。

但是，当时还没有一种可以为任何一种曲线引切线的“通用方法”。这个切线难题的真正解决是在发明了新数学“微积分”之后。

（本文发表于《科学世界》2011年第4期）