互动科普

引“切线”就是求“斜率”

接下来，我们来介绍牛顿解决切线难题的思路，也就是追溯“微积分”是如何诞生的。

得到圆的切线是比较简单的。相对于连接切点和圆心的直线画一条垂直线，那就是圆的切线。但是像下面图解给出的这种抛物线，曲线上不同地点的“弯曲程度”不同，对于这样的曲线，就没有如此简单的画切线的方法。在这种情况下，所谓“引切线”，是“用数学公式来表示切线”。虽然有办法用铅笔在纸上画出抛物线的切线，但是用严格的数学公式来表示抛物线的切线却不是一件容易的事情。

我们来考虑如何画出通过抛物线点A的切线。通过点A的直线可以有无数多条。由于一个切点只有一条切线，所以，在通过点A的无数多条直线中只有一条才是通过点A的切线。

那么，怎样才能够画出真正的切线呢？

为此，只需要知道切线应该具有的“倾斜度”。“倾斜度”，严格的说法是“斜率”，是表示一条直线相对于水平直线的倾斜程度的一个数值。通过计算求出通过点A的切线所具有的“斜率”就等于知道了哪一条直线是切线，换句话说，就能够画出切线。

如在前两页所提到的，在17世纪，当时还没有一种能够计算曲线的切线的斜率的通用方法。牛顿找到了一种计算切线斜率的方法，终于解决了长期困扰人们的这个切线难题。

在高中学习的画切线的方法

在打算通过它画切线的某一点（点A）和在抛物线上选择的另一点（点B）之间画一条直线。然后，使选择的那另一点逐渐逼近点A（B→C→D⋯）。当所选择的另一点无限逼近点A时，连接这两点的直线就无限逼近点A的切线（红色直线）。

按照这种方法画切线的思路来找到表示切线的数学公式需要用到在19世纪才出现的“极限”概念。在牛顿活跃的17世纪还没有极限的概念。

小点“移动”形成曲线！

1664年，当时已经是英国剑桥大学三年级学生的牛顿开始阅读笛卡尔等大师的著作，学习当时最尖端的数学。不到一年他便掌握了那些知识，自己开始独立进行数学方法的研究。

牛顿也研究了使当时的学者感到困惑的那个“切线难题”。他进行如下思考来寻求引切线的方法。

“可以把在纸上画出的曲线和直线看作是一个很小的点随时间移动而留下的轨迹”。

将曲线看成是点的移动形成的，那么，曲线上的任何一点都会有一个“瞬时行进方向”。另一方面，如前面已经介绍过的，在运动物体轨迹上通过一点所引的切线就显示了对应时刻动点的瞬时行进方向。牛顿的做法与此相反，他是通过计算动点的行进方向来求得切线的斜率。

按照这条思路，牛顿找到了一种独特的计算方法。

牛顿的思考

牛顿认为，“曲线和直线，可以看作是一个很小的点随时间移动而留下的轨迹”。他通过计算动点的瞬时行进方向来求切线的斜率。

计算在真正一瞬间动点的移动方向

牛顿选择一个字母“o”（其实上是希腊字母ο，读作“奥密克戎”）来表示真正一瞬间所经过的时间，以此来求在曲线上移动的一个点在这真正一瞬间的瞬时行进方向，即计算切线的斜率。

牛顿用这个符号“o”代表的时间虽然无限逼近零，却不是真正的零。也就是说，“o”是一段无限小的“瞬间时间”，不可能说它具体代表了1秒的多少。

假定在曲线上移动的一点在某个时刻位于“点A”。紧接着，经过“o”的瞬间时间，它从“点A”移动一段极短的距离来到“点A′”。经过这段极短时间，设这个动点在x轴方向移动的距离为“op”，在y轴方向移动的距离为“oq”。

牛顿为什么要使用不能确切知道究竟代表了什么数值的符号“o”、“p”和“q”呢？

在数学上，直线的“斜率”被定义为“直线上的动点向上移动的距离相对于该动点在水平方向移动的距离”，换句话说，是动点向上移动距离对水平移动距离的比率。例如，如果动点在x轴方向移动了“3”，在y轴方向向上移动了“2”，则这条直线的斜率就是“2/3”。

在右页图解中，经过“o”的瞬间时间，动点在x轴方向行进了“op”，在y轴方向行进了“oq”。按照斜率的定义，动点在这一瞬间移动所形成的直线A－A′的斜率就是“oq/op”，即等于“(=q/p)”。这条直线A－A′就是动点在点A处的行进方向，也就是说，它是通过点A的切线。

而且，接下来我们就会知道，虽然不知道“o”、“p”和“q”各自代表什么数值，然而却有办法求出“q/p)”的值。这就是牛顿发现的求切线斜率的方法。

真正一瞬间的行进方向

在曲线上移动的一点在某一时刻位于由坐标（a，b）表示的点A位置。牛顿将此动点在x轴方向的行进速度表示为“p”，在y轴方向行进的速度表示为“q”。经过瞬间时间“o”，动点从点A移动到了点A′。动点虽然是在曲线上移动，但是移动的距离极短，牛顿认为可以把动点移动的轨迹A－A′看作直线。

动点行进的距离等于时间×速度。因此，经过瞬间时间“o”，动点在x轴方向的行进距离等于o（时间）×p（速度）＝op；在y轴方向的行进距离等于oq。于是，点A′的坐标为（a＋op，b＋oq）。牛顿认为直线A－A′（红色箭头）在点A的行进方向就是曲线在该点的切线。直线A－A′的斜率为“oq/op”（= q/p），因此点A的切线也是q/p。

（本文发表于《科学世界》2011年第4期）