互动科普

使用微积分可以预测未来！

利用微分和积分之间的“逆运算”关系不仅使得积分计算变得十分容易，还可以预测未来。

例如从地面发射的宇宙飞船或太空探测器，有加速，也有减速，我们可以通过计算来预测它将在什么时候到达目的地。

进行这种预测的关键在于我们可以通过微分和积分来计算出运动物体的位置、速度或加速度。这是因为速度是位置的变化率（单位时间位置如何变化），而加速度又是速度的变化率。

位置、速度和加速度这三个量，只要知道了其中一个量，就可以使用微积分来计算出另外两个量。甚至，知道了加速度随时间的变化也可以通过积分来求出位置或速度。

加速度的一个例子是地球的“重力”（重力加速度）。地球表面附近重力的大小保持一定，而且始终垂直指向下方。这意味着知道了地球重力的大小就可以通过计算求出在地面附近自由下落的物体的位置或速度如何随时间而变化。

事实上，这正是牛顿给出的计算方法。牛顿根据他所建立的一套物理定律体系即“牛顿力学”，不仅可以计算地球上的运动物体在未来的位置或速度，甚至还可以推测在宇宙空间运动的天体在未来任何时刻的位置或速度。

按照微积分的计算如期回归的哈雷彗星！

最后，我们来介绍显示了微积分巨大威力的一个非常著名的“事件”。

牛顿将他发明的微积分和他所建立的包括万有引力定律在内的牛顿力学在17世纪后半叶陆续发表之后，虽然普通人并不清楚这些成果的意义，但是那些懂得其内容的学者全都由衷叹服牛顿所创建的那种研究问题的新方法。

牛顿的一位叫做埃德蒙·哈雷（1656〜1743）的好朋友很快就学会了牛顿发明的微积分和他所发现的那些物理定律。哈雷是一位天文学家，他于是使用牛顿的方法来研究当时的一个天文学难题：计算彗星的轨道。

哈雷注意到，分别在1531年、1607年和1682年来到地球附近的那三颗彗星具有非常相似的轨道。哈雷认为，它们其实是同一颗彗星。他精确计算出那颗彗星的轨道，并大胆预言：“那颗彗星应该在1758年再次来到地球附近”。哈雷预言的那颗彗星后来就被命名为“哈雷彗星”。

当时，人们感到彗星神秘莫测，相信彗星的出现是非常不吉利的事情，是一种凶兆。然而哈雷却宣布，可以根据物理学定律利用微积分计算出彗星会在何时到来。

到了1758年，在圣诞节那一天，差不多正好是哈雷预言的时间，夜空中果然出现了那颗彗星。这一瞬间，牛顿发明的微积分既打破了关于彗星的迷信和所有的神秘，又向世人证明了这一方法的正确和巨大的威力。

哈雷彗星的轨道

哈雷预言，哈雷彗星应该在1758年末到1759年初这段时间再次返回接近地球。按照牛顿的推测，彗星的轨道应该是“圆锥曲线”（圆、抛物线、椭圆和双曲线）之一。哈雷利用过去留下的大量彗星记录计算它们的轨道，得到哈雷彗星的轨道是椭圆的结论。通常，彗星都是用它的发现者的名字命名，哈雷彗星是个例外。为了纪念哈雷计算这颗彗星的轨道和作出正确预言，是在事后才将它命名为“哈雷彗星”的。

（本文发表于《科学世界》2011年第4期）