互动科普

本刊2009年1月号刊出特别策划文章《虚数的故事》以后，收到了来自读者的大量提问。编辑部从中挑选出一部分问题在这里进行解答。

虚数有大小吗？

问1 2009年第1期第27页上介绍了“虚数轴”。代表实数轴的直线，越向右，数值越大，容易进行大小比较。那么，在代表虚数轴的直线上，是否越向上，虚数值越大呢？

答1 比如我要到东边的某个地方去，“向东走1步”或者“向东走－1步”（＝向西走1步），怎样走对我才有利呢？当然是向东走＋1步才能接近目标。按照这个思路，我们可以认定“＋1比－1大”。

那么再问，仍然是要到东边去，“向东走i步”（＝向北走1步）或者“向东走-i步”（＝向南走1步），两者哪个对我有利呢？回答是谈不上有利或不利，这两种走法根本无法比较。我们“无法决定i和-i的大小”。也就是说，虚数轴上的数，即虚数，无法区分大小。

其实可以证明，在所有复数之间，根本不可能建立起一种普遍意义上的大小关系。由于这个缘故，在复平面上，我们可以比较不同复数到原点的距离（绝对值）的大小，可以单独比较复数的实数部分的大小或者复数的虚数部分的大小，却无法在普遍意义上谈复数之间的大小关系。

“负负相乘得负”是怎样一套数学？

问2 在2009年第1期第28页上写道，“约定‘负负相乘得负’，搞出另一套数学，也并非是一件不可能的事情。不过，那样一来，计算会变得非常复杂”。在那样一套数学中，怎样进行计算，怎么就非常复杂，举个具体例子好吗？

答2 我们举一个“求解一次方程-2x＝x-3…①”的例子。通常做法，是把等号左端的-2x移项到右端，把右端的-3移项到左端，得到3＝3x，从而求得x＝1。

这里我们按照“负负相乘得负”的规则再来求解这个方程试试。把-3代入方程①中的x试一试。结果有

①左端＝(-2)×(-3)＝-6

①右端＝-3－3＝-6

也就是说，在“负负相乘得负”的规则下，这个方程的解变成了x＝-3。且慢，我们把原来方程左端的-2x移项，将方程改变形式，使之成为“0＝2x＋x-3…②”，再把－3带入x试一试。结果有

右端＝2×(-3)＋(-3)－3

      ＝-6－3－3

      ＝-12≠左端。

我们看到，仅仅是作了一次移项，②中的等号就不再成立了。这说明，按照“负负相乘得负”的规则不能进行通常的移项操作。在这样的规则下，必须另引入十分复杂的移项新规定，否则，连简单的一次方程也不可能求得正确答案。

类似的例子还可以举出很多。这些例子全都表明，惟有“负负相乘得正”的规则才是一套简单明了的数学。

不用虚数也能求解“伽莫夫问题”吗？

问3 在2009年第1期第30页介绍了一个“伽莫夫问题”。我想，无需使用什么复平面，只用普通的实数XY平面大概也可以求出答案的吧。

答3 在文章中介绍“伽莫夫问题”，是为了说明复数性质而举的一个例子。

先说结论：如提问人所说，伽莫夫问题，不考虑复平面或者虚数，使用普通的实数XY平面的确也可以求解。

文章中的伽莫夫问题，引自伽莫夫的著作《从一到无穷大》。伽莫夫介绍了这个问题的一种求解方法，即可以把“旋转90°的方向改变”操作改换成“乘虚数i（或虚数-i）的乘法运算”。伽莫夫介绍使用虚数（复数）的求解方法，是为了加深读者对于虚数i的乘法运算对应“复平面上的90°旋转”这个结论的理解。

不过，伽莫夫的解法并不是非如此不可的惟一解法。对于“旋转90°的方向改变”操作不采用“虚数i的乘法运算”，改成“用普通XY坐标进行运算”也可以达到目的。实际上，任何可以用复数乘法运算求解的问题，只要把其中的旋转操作翻译成普通XY坐标的语言，都可以不使用复数和复平面求解。

不是实际存在的数，为什么却同自然界有联系？

问4 在2009年第1期第34页写道：“在求解薛定谔方程时，必然要进行包含虚数或复数的计算”。又说，“量子力学是现代科学技术乃至工业的基础”。自然界本来没有的虚数却同真实的世界有联系，这难道不是纯属巧合吗？

答4 我们不会看到什么“i个苹果”，也不会看到“i克金块”。虚数无法与“物体的个数”或者什么东西的“数量”对应起来。但是，在描述“真实世界”的物理学中却出现了虚数，的确好像不可思议。

“负数”也有类似的情况。我们也不会看到“负3个苹果”或者“负3克金块”。不只是虚数，负数也无法与物体的个数或什么东西的数量对应起来。然而物理学却必须要有负数。只承认整数，数学会贫弱无力，物理学便得不到发展。

表示“无”的数“0”也是一样。自然界当然不存在“0个苹果”。但是不承认“0”，数学就不能很好地记述自然界。

说到底，所谓“数”，全都不是自然界实实在在存在的东西，不过是人类头脑中形成的一种“模型”，一种“概念”。在这种意义上，也可以说“数”只是一种“语言”。而物理学做的事情，就是“使用数学语言来描述存在于自然界中的规律”。

进入20世纪，人类发现了新的自然界规律，需要使用复数这种语言才能够更加自然和非常简洁地描述这种规律。这就是支配微观世界的量子力学。由此我们应该知道，虚数同真实世界的联系并不是偶然的，而是一种必然。

塔塔尼亚是“独立”发现了求解了三次方程的公式吗？

问5 在2009年第1期第38页上写道：“原来，塔塔尼亚已经独立想出了求解三次方程的公式，应用起来比德尔·费罗的方法更加有效”。塔塔尼亚是真的“独立”想出了三次方程的解法，还是知道德尔·费罗的思想只是进行了改进？

答5 虽然没有确凿的证据不能下断言，不过可以认定，塔塔尼亚是自己完全独立地发现了三次方程的解法。

塔塔尼亚是他那个时代的一位非常出色的数学家，曾做出过许多贡献。欧几里得《几何原本》拉丁文翻译中的许多数学上的错误就是他更正的。塔塔尼亚的物理学研究，也对后来的伽利略产生过影响。

而且，要同塔塔尼亚进行数学对抗赛，向他提出挑战的，正是德尔·费罗的学生安东尼奥·菲奥尔。两人各自向对方提出30道难题，分别在约定的日期前交出答案，正确答案多者为胜。菲奥尔掌握有老师秘授给他的不为外人所知的“求解三次方程的公式”。

然而对抗赛结果是，30比0，塔塔尼亚取得压倒性胜利。塔塔尼亚在他的书中写有这样的话：“在临近截止日期的2月12日深夜，我自己发现了求解公式”。尽管如此，综合各方面的历史资料来看，塔塔尼亚大概事先曾经研究过菲奥尔在以往对抗赛中所出的那些数学难题。他知道菲奥尔喜欢出三次方程的问题，就会意识到有三次方程的求解公式存在。既然想到了“有三次方程求解公式存在”，那么像塔塔尼亚这样的一流数学家，独立找到这个公式就不会是一件值得奇怪的事情。

此外，从30比0这样悬殊的比分推测，塔塔尼亚大概通过研究掌握了菲奥尔的出题习惯，同时自己也有意出的是菲奥尔不熟悉的难题。菲奥尔光凭自己的数学能力来应付对手投出的“变化球”（棒球投手投出的怪球）自然就输定了。

对抗赛后，塔塔尼亚受不了卡尔达诺的纠缠，不得已，把自己的求解公式告诉了卡尔达诺。不过，塔塔尼亚告诉卡尔达诺的并不是公式本身，而是“推导公式的步骤”（用诗句表达）。由此可知，塔塔尼亚不只是知道求解公式，连公式的的推导方法也是清楚的。

会不会再出现什么新的“虚数”？

问6  虚数其实是“人类造出来的一种数”。这种人工数竟然在揭示自然界和宇宙的规律上起到了那么大的作用，真令人惊叹。人类今后是否还会创造出另一种新数，比如说“第二种虚数”呢？

答6 其实，早就有数学家造出了这样的“新数”。他就是出生在爱尔兰的数学家和物理学家威廉·罗恩·哈密顿（1805～1865）。

实数世界对应的是直线数轴，这是个“一维世界”。有了实数，加上虚数，则是“复数世界”，对应的是“复平面”，也就是“二维世界”。以此类推，“三维世界”，也就是空间的世界，便应该有一个新数的世界与之对应。这就是哈密顿的想法。

哈密顿在复数世界中添加上“第二种虚数”，想要建立一个新数的世界（三维数）。遗憾的是，哈密顿经过十多年的努力，始终未能建立起这样一个三维数世界。不过哈密顿注意到，在三维数上再添加一种“第三种虚数”，反而能够得到一个可以进行四则运算的新数世界。

这样就得到了由一种实数和3种虚数所构成的一种新数，即“四维数”。这种四维数，用哈密顿的名字命名，也叫做“哈密顿数”。

四维数有3种虚数，它们的单位分别用符号i、j、k表示。这i、j和k，各自都是二次方等于1的虚数，还作出规定“i×j×k＝-1”。

但是，实数和复数遵守的那种乘法交换律（A×B＝B×A）对于这种四维数却不成立：A×B≠B×A。事实上，要求任何方程都必定有解，有复数就足够了（代数的基本定理），不需要有四维数。不过，在有一些科学技术领域，比如在基本物理学的某个分支中和在人造卫星的姿态控制技术中，也会用到四维数。

（本文发表于《科学世界》2009年第5期）