互动科普

《科学世界》2009年1月号上的“虚数的故事”一文，详细而生动地介绍了人们对于各种各样“数”的认知过程，阐明了数学家为什么要虚构出一种现实世界中并不存在、对于一般人而言极难理解的“虚数”的原委，以及虚数在数学中的重要地位和作用。而复数则把实数和虚数都包括在内，“虚实结合”，开辟了数学的一个新天地。

怎样用图形来表示虚数呢？卡斯帕·维塞尔（Caspar Wessel，1745～1818）、卡尔·高斯（Karl Gauss，1777～1855）和让·阿冈（Jean Argand，1768～1822）先后各自独立地发明了用横轴表示实数、用纵轴表示虚数的办法，完美地解决了这个问题。这个坐标平面上的每一个点就代表一个复数。比如右图中的黑点，就是复数5+4i。“虚数的故事”一文指出，这个平面通常被叫做“复平面”或“高斯平面”，而在法国则被叫做“阿冈图”。这是为什么呢？原来，高斯是德国的大数学家，而阿冈虽然是出生在日内瓦的瑞士人（“虚数的故事”一文把阿冈说成是法国人不恰当），但由于他长期居住在法国，他关于虚数的图形表示的论文也是在巴黎发表的，因此，法国人视阿冈为同胞并引以为荣；而法国和德国之间，历史上曾经是“冤家”，19世纪爆发过有名的“普法战争”，法国曾被普鲁士军队占领。出于民族恩怨，法国人不愿用德国数学家高斯的名字来称呼复平面，而用阿冈的名字来称呼复平面也就可以理解了，虽然高斯的名气和成就远比阿冈的大。

下面我们来介绍两个有趣的阿冈图。

我们知道，整数有素数和合数之分。只能被1或其自身除尽，不能分解为另2个整数之积的整数，就叫做素数；否则就是合数。高斯创立了复整数理论，把形如n+mi，n和m都是整数的复数叫做复整数。复整数是否也有素数和合数之分呢？有的。凡是不能分解为另2个复整数之积的复整数，就叫做复数素数，或叫高斯素数。比如，在复平面的实数轴上，具有4k－1形状的普通素数作为复数仍然是素数，而2以及形如4k+1的普通素数作为复数就不再是素数了，因为它们可以被分解：

      2=（1+i）（1－i）

      5=（2+i）（2－i）

      13=（2+3i）（2－3i）

……

高斯素数在复平面上的分布形成十分有趣的图形。下图就是范数（norm）(n²+m²)≤1000的阿冈图，它曾经被用在一种台布上作为装饰图案。

高斯的学生艾森斯坦（F. G. Eisenstein，1823～1866）基于二次方程1+w+w²=0的根w=(1－√-3  )/2也定义了一种复整数——n+mw，被称作艾森斯坦整数，也有素数和合数之分，其素数被称作艾森斯坦素数。说来有趣，复整数理论的创立人、艾森斯坦的老师高斯曾经拒绝承认艾森斯坦整数也是一种复整数，因为w中包括一个分母。但艾森斯坦证明它完全符合高斯的复整数理论，从而最终被公认为一类复整数。同高斯素数不同，2在w平面上是不能被分解的，因此是艾森斯坦素数；而3以及所有形如6k+1的普通素数则可以被分解，因此不是艾森斯坦素数，因……为我们有：

3=（1－w）（1－w²）

7=（2－w）（2－w ）

13=（3－w）（3－w ）

……

艾森斯坦素数的分布也会形成十分有趣的图形。其阿冈图如上图所示。它呈六边形对称，在中心附近有完整的6个六边形，同蜂窝非常相似。

（本文发表于《科学世界》2009年第10期）