维度是什么，它如何影响现实？

admin 发表于 2019年12月17日

相对论认为我们生活在四维空间；弦论则认为是十维。

到底什么是“维度”？它又是怎么影响自然世界的呢？

撰文：Margaret Wertheim

翻译：卓思琪

审校：阿金

我正准备伏案疾书，抬手打开桌上的灯，拉开桌下的抽屉，拿出笔。在我面前有妹妹送我的幸运物，背后有酣睡的猫主子。右边放着文章的参考资料，左边则是成堆的账单和要回复的信件。上、下，前、后，左、右：我在我的私人三维宇宙内翱翔。大部分西方建筑物由三个相连的直角构成直线型结构（看，就是牛奶盒子的那个角），我的办公室也不例外，这个世界的以三维轴线的方式，无形地压在我身上。

我们身边的建筑、学校的教科书以及各类字典都告诉我们：空间是三维的。牛津英语词典将“空间”定义为：“一个连续的区域或广阔的场所，可以是空旷的，可以进入，或可以被物质占有，……其维度包含高度、深度和宽度，所有物体可以在此间存在和运动。”

三维的欧氏空间（Euclidean space）具有先验（a priori）必然性，就好比我们现在的计算机成像和电子游戏里面预先设定好的空间，而我们常常依赖笛卡尔坐标系所呈现的几何图像来描述空间。这些话在今天看来，似乎是不证自明的。

我们居住的空间具有任意数学结构（mathematical structure）——这个理论是西方文化的颠覆性创新之举，意在推翻长久以来对现实世界属性的既定理念。虽然人们常把现代科学的诞生描述为向“机械论自然观”的过渡，但更重要、当然也更持久的争议是它改变了我们将空间视作几何结构的观念。

在上个世纪，描述空间的几何结构是理论物理学的重大课题，从阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）开始的专家试图将自然的所有基本作用力视为空间本身形状的副产品。一般情况下，我们接受的教育告诉我们：空间有三个维度；但广义相对论则描绘一个四维宇宙图景，而弦论表示有10个维度存在——它的扩展理论M理论甚至认为有11个维度。还有许多不同理论讨论着26维，最近还出现了让纯粹数学家兴奋不已的24维空间说法。但是，这些“维度”是什么？谈论10维的存在空间又意味着什么？

为了适应现代数学对空间的思考模式，首先需要想象出一个可以被物质占有的场所。至少，“空间”必须是可以扩展的。虽然看上去是显而易见的概念，但这却是亚里士多德（Aristotle）带来的“诅咒”。他关于物理世界的种种概念从古希腊晚期到中世纪一直是主导思想。

其实严格来讲，亚里士多德的物理学并不包括空间理论，他仅是提出了空间方位的概念。想象桌上有一只杯子：亚里士多德认为，杯子本身是一个实体，而杯子被空气所包围。在他的世界图景里，不存在“空无一物的空间”，有的只是不同实体之间的界限：比如，那只杯子和围绕它的空气，或者和桌子之间的边界。他认为，“空间”（如果你想称呼它为空间的话）只是杯子和它周围物质相接处极其狭小的一丝缝儿。如果空间不扩展，那么里面什么也装不下。

早在亚里士多德前几个世纪，留基伯（Leucippus）和德谟克利特（Democritus）就已提出一个关于自然世界的理论：他们引用内部空间化的方式来看待自然世界即原子论（atomism）——物质世界由虚空中运动的微小粒子（原子）组成。而亚里士多德不接受原子论，坚称虚空的概念是不符合逻辑的。他从定义上讨论说，“虚无”是不可能存在的。从驳斥亚里士多德对虚空的否定，到接受可扩展的空间这个概念又经历了几个世纪。直到17世纪前叶，伽利略（Galileo）和笛卡尔（Descartes）奠定空间扩展学说作为现代物理学的基石，“假定物理空间完全等同于几何空间”（—Edwin Burtt）——这种创新的概念才盛行起来。

早在物理学家接受欧氏空间之前，画家才是探寻空间几何概念的先锋人物，也多亏了他们，人类的思想框架才会有这样巨大的飞跃。在中世纪晚期，从柏拉图（Plato）和毕达哥拉斯（Pythagoras）学说衍生出一个新的思潮——这两位也是亚里士多德学说的主要竞争对手——“上帝根据欧氏几何创造世界”的观点开始在欧洲广为流传。因此，如果画家想要真实地描绘出现实世界，他们就得模仿造物主的表现技巧。14世纪到16世纪间，乔托（Giotto）、保罗·尤切洛（Paolo Uccello）和皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡（Piero della Francesca）等艺术家开创出透视法—— 一种最初称为“几何图形”的风格。通过对几何原理的探索，画家们逐渐学会在三维空间内描图绘物。也就是这样，画家们刷新了欧洲人的思维模式，让大家用欧几米德的方式来看空间。

历史学家塞缪尔·埃杰顿（Samuel Edgerton）在《乔托的几何学遗产》（The Heritage of Giotto’s Geometry）（1991）一书中叙述了这段现代科学史中非凡的进程：人们站在透视绘画作品前，发自肺腑地感受到好像是“透过”墙壁，看到另外一边的三维世界，而这个漫长过程的一个“副产品”就是推翻了亚里士多德“空间学说”。其中最神奇的一点是，当科学家和哲学家谨慎地挑战亚里士多德对空间的认知时，艺术家则通过感性认识，在知识领域中大胆地闯出一条大道来。他们的透视法类似于现在十分流行的“虚拟现实”（VR）技术，让观看者身临其境地探索其他世界一样。

“真实”的结构由神学和哲学问题演变成了几何命题。

用透视法表现虚幻的欧氏空间深深印刻入欧洲人的意识中，伽利略和笛卡尔则将其运用到真实世界中。值得一提的是，伽利略本人学过透视法，他开创性地描绘月亮主要特征时——这展现出本人表现纵深的能力：他描绘的月亮上有高山有深谷，暗示月亮也像地球一样，由坚硬的物质材料组成。

伽利略能利用空间透视法，按照数学规律描述物体的运动。空间本身是抽象的，它没有鲜明的特点，稳定存在又不可感知触摸，唯一可知的属性只有欧式几何属性。到了17世纪末，艾萨克·牛顿（Isaac Newton）将伽利略的空间观念扩大到宇宙尺度，宇宙被定义为一个无限的三维空间，它广阔无垠、质量低，且始终向四面八方扩展出去。就此，关于“真实”的结构，已经从哲学和神学问题转化为几何命题。

当画家已经使用数学工具发展绘画的新方法时，“科学革命”也迎来了自己的曙光，笛卡尔发明出一种新方法，用数学关系来描述图形。在这个过程中，他将维度概念形式化，并将它们耕植于我们脑海中。这不仅是观察世界的新方法，更是研究科学的新工具。

今天，我们几乎每个人都认识笛卡尔这一天才成果——笛卡尔平面（Cartesian plane）坐标系（coordinate system）：由两条互相垂直的x轴和y轴形成的直角坐标系统。

根据定义，笛卡尔平面是一个二维空间，因为我们需要两个坐标点来描述其中的任意一点。笛卡尔发现，他能够在这个框架内将几何图形和代数公式联系起来。例如，半径为1的圆就可以用x2 + y2 = 1来描述。

在这个平面内，我们绘出的大部分图形都能用公式来表示。而这种“解析几何”，或者“笛卡尔几何”，很快就成为微积分的基础。微积分是由牛顿和莱布尼茨（G W Leibniz）等人所发展而来，并且很快成为物理学家分析运动的工具。了解微积分的方式之一就是研究曲线。这帮助我们确定曲线最大斜率对应的点，以及某一段曲线的最值点。在研究运动时，微积分能预测物体抛出后达到最高点的位置，或者斜面上滚动的小球达到某一具体速度的时间等。微积分应用广泛，自诞生以来几乎成了所有分支学科的重要工具。

由二维坐标出发，我们很容易想到添加第三个坐标轴。因此，我们可以用x、y和z轴来描述一个球面，比如半径为1的球就可以用公式x2 + y2 + z2 = 1来表示。

这三个轴能够用来描述三维空间内的图形。同样地，图形上的每个点需要由三个坐标点共同标识。

让我们不要停下脚步，尝试一下添加第四个维度会怎样？比如说再加个p轴。现在，我写下一个公式x2 + y2 + z2 + p2 = 1，我假定这代表一个四维球。虽然我画不出来这个物体，但是从数学上讲，再增加一个维度是合理的。“合理”意味着没有任何逻辑上的错误，因此理论上讲我没有理由画不出来。

一个维度成为了纯粹的概念符号，它不再需要和物质世界联系在一起。

我们还可以继续添加更多的维度。那么我要在五维空间定义一个五维球公式(五维坐标轴x, y, z, p, q)：x2+ y2 + z2+ p2 + q2 = 1。或者再加一个维度变成六维：x2 + y2 + z2 + p2 + q2 + r2 = 1，以此类推下去。

尽管我可能无法想象出更高维度的球体，但是我能够把它们用符号表示出来。这也是理解数学史的一种方式——逐渐超越看似合理的事物。刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll）在《爱丽丝镜中奇遇记》（Through the Looking Glass, and What Alice Found There）(1871)让白皇后宣称：“我有能力在早餐之前相信六件不可能的事情。” 在数学上，我可以用我选择的任何维度描述球体。而我需要做的，就是不断增加坐标轴——数学家称之为“自由度”（degrees of freedom）。传统上它们被命名为x1, x2, x3, x4, x5, x6 等。如同笛卡尔平面上的点可以用两个坐标点（x, y）来描述，17维空间中的点就可以用17个坐标点（x1, x2, x3, x4, x5, x6 ...x15, x16, x17）来表示。因此上述那些多维空间中的球面通常被称为流形（manifolds）。

从数学的角度来看，一个“维度”只不过是一个坐标轴（或者是一个自由度）。它最终成为一个纯粹的符号，没有必要和物质世界联系在一起。19世纪60年代，逻辑学家奥古斯都·德·摩根（Augustus De Morgan）总结出“数学领域愈渐抽象”的观点，指出数学是纯粹的“符号科学”，数学只需要它自身，不需要再涉及任何其他事物。从某种意义上说，数学就是让逻辑在想象力领域内为所欲为。

和在思想领域毫无拘束的数学家不同，物理学必须要和自然界联系在一起，至少原则上，它要和物质联系在一起。然而，这一切也都有摆脱限制的可能性：如果数学上允许超过三维，并且我们承认数学也可用来描述世界，那么我们怎么知道物理空间仅限三维呢？尽管伽利略、牛顿和康德都将长度、宽度和高度视作公理，但难道这个世界上就没有更多的维度了吗？

历史再次重演，艺术媒介在多维度宇宙的思想传播上又一次发挥了重要的作用，而这次是通过文学作品。著名数学家艾德温·阿尔伯特（Edwin A Abbott）在社会讽刺小说《平面国》（Flatland）（1884）中描写到：生活在平面国的谦卑正方形受到来自三维空间国的球王激励，造访壮观的三维立体世界。在空间国，正方形见到了他的三维版本——立方体。接下来，他开始梦想有四维、五维、六维世界。为什么不是超立方体呢？他想知道，是不是还有超超立方体？

但是悲剧的是，当正方形回到平面国后，他被当做一个疯子，被关进精神病院。这个故事告诉我们的道理之一就是承认炫耀社会习俗的危险性。当正方形在讨论其他空间维度时，他也在努力地寻找着相关例证——他是个数学怪人。

在十九世纪末二十世纪初，一批作家、艺术家和思想家对多维思想的传播做出了贡献。其中包括数学家、科幻小说家查尔斯·汉顿（Charles Hinto）为四维立方体创造了“tesseract”一词，艺术家萨尔瓦多·达利（(Salvador Dalí)）和神秘思想家邬斯宾斯基（P D Ouspensky），他们探讨了四维思想及其对人类的影响。

然后在1905年，一位叫阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）的“无名”物理学家发表了一篇论文，将现实世界描述为一个四维环境。在他的“狭义相对论”中，时间作为新的维度，添加在经典的三维空间上。在相对论的数学形式中，四个维度被绑定在一次，而“时空”这个词也被载入字典——这两个字的组合可不是随意而为的。爱因斯坦发现，沿着这个思维继续下去，一个强大的数学工具应运而生——它超越了牛顿的物理学，能用于预测带电粒子的行为。只有在4D世界模型中，才能完全精确地描述电磁现象。

比起文学作品而言，相对论对于多维思维的传播更为重要。特别是后来爱因斯坦将“狭义相对论”扩展到“广义相对论”。现在，多维空间已经不再虚空，它饱含深刻的物理意义。

在牛顿的世界图景中，物体在自然力（特别是引力）的作用下，在一定时间内在空间中做运动。空间、时间、物质和力是不同的现实范畴。在狭义相对论中，爱因斯坦证明时间和空间是统一的，从而将基本物理范畴从四个缩减为三个：时空、物质和力。广义相对论在此基础上又迈出一步——它将引力加入时空的结构中。从4D角度来看，引力只是空间形变的产物。

为了进一步了解这个引力-时空组合，先让我们将它与二维模型作类比。想象一张蹦床，我们在它的表面画上笛卡尔坐标网络。现在，放一个保龄球上去，在保龄球周围，床的表面会被拉伸、向下凹陷，因此，这块表面上各点之间的距离变得比之前更远。这是因为我们打乱了空间内距离的固有尺度，使之变得不均衡。广义相对论认为，类似这样的凹陷就是重物体（例如太阳）对时空的作用。而笛卡尔完美空间的变形产生了我们所经历的引力现象。

相比牛顿物理中来源不明的引力，爱因斯坦则描述引力属于四维流形的固有几何属性（曲率）。流形中拉伸最厉害的地方，或者偏离笛卡尔规则最远的地方，引力感就越强。我们有时把它称为“橡胶片弹性物理学”（rubber-sheet physics）。这里，巨大的宇宙力量只不过是空间弯曲的副产物，它使行星围绕恒星旋转、恒星围绕星系旋转。引力就是空间运动的几何学。

如果四维空间有助于解释引力，那么五维空间有什么科学优势呢？为什么不继续研究下去呢？一位年轻的波兰数学家西奥多·卡卢扎（Theodor Kaluza）曾在1919年发问：爱因斯坦将引力添加进时空结构中，或许在下一个纬度中我们同样可以将电磁力看做是时空几何的副产物？因此，卡卢扎在爱因斯坦方程中添加了一个维度，然后他欣喜地发现，在五维中两种力都认作为副产物的情况下，他的几何模型就能完美成立。

你是一只蚂蚁，爬行在细长的软管上，却从未注意脚下是一个圆形维度。

这种数学上的契合简直像是魔法，但是问题在于这样添加上的维度似乎不能找到现实中的物理意义。在广义相对论中，第四个维度是时间。在卡卢扎的理论中，他添加在数学方程中的维度你指不出，看不到也摸不着。甚至爱因斯坦也对这种空灵的创意感到踟蹰——它是什么？它在哪里？

1926年，瑞典物理学家奥斯卡·克莱因（Oskar Klein）很玄幻地回答了这个问题。想象你是一只蚂蚁，生活在细长的软管上。你可以沿着软管表面来回奔跑，但却从未注意过脚下其实有一个微小的圆形维度。只有当有蚂蚁物理学家用功能强大的蚂蚁显微镜时，才能看到这个微小的维度。根据克莱因的说法，我们四维时空中的每个点都占有一个额外的空间，而这样的空间太小了，我们观察不到。因为它比原子还要小许多个数量级，这也怪不得我们迄今都没发现。只有当物理学家有超强粒子加速器时，才有希望在微小尺度上观察到。

震惊过后，物理学家们被克莱因的想法所吸引，在20世纪40年代，物理学家苦心钻研其中主要的数学细节，应用到量子理论中。不幸的是，新维度实在过于微小，我们无法想象应该用何种实验去验证。克莱因计算出这个圆的直径只有10-30厘米。相比之下，一个氢原子的直径是10-8厘米，所以我们谈论的是比最小的原子还要小20多个数量级的东西。就算在科技相对发达的今天，我们也无法实现对它的观测。因此，这个想法逐渐被人所弃。

不过，卡卢扎并没有轻言放弃。他依旧相信他的第五维度，相信数学论证的力量。所以决定自己进行实验。他用学游泳来验证理论的重要作用。卡卢扎不会游泳，所以他先详尽地阅读了游泳理论，当觉得吸收了足够的理论知识之后，就和家人一起去海边，直接跳进海里，尝试游泳并取得成功。在卡卢扎的想法中，游泳实验维护了理论的有效作用，虽然他活着的时候没能见证第五维的胜利，不过到了20世纪60年代，弦论理论家让高维空间的思想起死回生。

20世纪60年代，物理学家发现了另外两种自然作用力，都是在亚原子尺度上发生作用。它们被称为弱核力和强核力，影响放射性衰退，并将夸克捆绑在一起形成质子和中子。在20世纪60年代后期，随着物理学家开始探索弦论（弦论假设粒子像橡皮筋一样在空间中震动），卡卢扎和克莱因的想法又回到了科学家的视线中。理论家们逐渐开始意识到，两种亚原子作用力也能用时空几何学来描述。

事实证明，为了包含这两种力量，我们必须在数学描述中添加另外五个维度。没有理由事先规定必须是五个；而且我们的感官也无法体验这些额外的维度，它们只是存在于数学中。所以，最终我们确认了弦论的十个维度。这里有四个大尺度时空维度（用广义相对论来描述），再加上六个“紧致化”的维度（一个用于电磁力，另外五个用于核力）。它们全都卷曲在一个非常复杂、细密的几何结构中。

物理学家和数学家耗费大量精力来研究这个微型空间所有可能的形状，并寻求在现实中能够实现的诸多替代方案（如果真可以的话）。技术上来讲，这些形式被称为卡拉比-丘流形（Calabi–Yau manifold），它们可以存在于任何更高维空间的偶数维度中。这些精细的、非凡的形式构成了多维空间内的抽象分类学；通过高维空间的2D切片（是我们能够给出的最好的直观方式），它们好像病毒的晶体结构：看起来几乎是栩栩如生。

一张卡拉比-丘流形的 2D 切片。图片来源：Courtesy Wikipedia

描述10维弦论的方程有很多，但是到了20世纪90年代，普林斯顿高级研究所（爱因斯坦的老巢）的数学家爱德华·威滕（Edward Witten）指出：如果我们从11维的角度出发，可以做出些简化。他把这个新理论成为M理论，而且对M的含义表示保密。通常认为M是“膜（Membrane）”，但也有“矩阵（Matrix）”，“主人（Master）”，“神秘（Mystery）”和“怪物（Monster）”的说法。

我们可能只是众多共存宇宙中的一个，在5D空间的更广阔舞台上，每个宇宙都是独立的4D泡泡

至今为止，我们没有任何证据来证明这些额外维度的存在——我们仍然在梦想着一个我们不能造访的微缩之地。但是，弦论对数学本身带来了巨大的影响。最近，弦论的一个24维理论分支主张，几个主要的数学分支之间存在着意想不到的联系。这意味着即使弦论不能在物理学中成功证明，它也能为纯理论科学带来丰厚的回报。在数学中，24维空间相当特殊，在那里能见证奇迹的发生，比如将一堆球体优雅地打包——尽管现实世界中不可能有24个维度。对于我们热爱的这个世界，大多数弦论学家相信证明10个或11个维度就足够了。

弦论中有一个最新的发展值得关注的。1999年，丽莎·兰德尔（Lisa Randall，第一位在哈佛任职的理论物理学家）和拉曼·桑德鲁姆（Raman Sundrum，印度裔美国人的粒子理论家）提出，在广义相对论描述的宇宙尺度内，可能还有一个额外的维度。根据他们的“膜（brane）”理论（brane是membrane的缩写），我们通常所说的宇宙可能孕育于一个更大的五维空间——一个超级宇宙。在这个超级宇宙中，我们可能只是众多共存宇宙中的一个，在5D空间更广阔的舞台上，每个宇宙都是独立的4D泡泡。

我们难以确认兰德尔和桑德鲁姆的理论。然而，这个想法类似于现代天文学发展之初的情形。500年前，欧洲人觉得想象我们这个世界以外的物理“世界”是不可能的，但是现在我们知道，宇宙有着数十亿的行星在围绕着数十亿的恒星。谁知道有一天，我们的后代能找到数十亿宇宙存在的证据，而且每个宇宙都有自己独特的时空方程。

理解空间的几何结构是科学上标志性的成果之一，但物理学家感到这条路已经走到尽头。事实证明，亚里士多德在某种程度上是对的——“可扩展的空间”这个概念确实存在逻辑上的问题。相对论取得了卓越的成就，但它所描述的空间可不是我们探寻的终点——因为它无法应用到量子层面。在过去的半个世纪里，物理学家尝试着将对宇宙层面的空间理解和量子层面上所观察到的现象结合在一起——尽管他们没有成功。这种综合的方式越来越需要全新的物理学出现。

爱因斯坦提出广义相对论后，他用余生中的大部分时间试图“从空间和时间的动态中构建所有的自然法则，将物理问题化简至纯粹几何学”。正如普林斯顿高级研究的罗伯特·迪克格拉夫（Robbert Dijkgraaf）所说：“对于爱因斯坦来说，时空是无尽的科学研究对象中最‘底层’的课题。就像牛顿的世界图景一样，爱因斯坦把空间作为存在的重要基础，是一切事物发生的舞台。”然而，在量子性质主导的微小尺度上，物理定律告诉我们：我们惯性思维的空间，也许并不存在。

一些物理学家近期提出一个新的观点：空间是一些更加基本的东西的外在表象，就像温度是分子运动的宏观表象一样。正如迪克格拉夫所言：“当下的时空观点不是起点，而是终点，它是从量子信息复杂性中萌发的自然结构。”

加州理工学院的宇宙学家肖恩·卡罗尔（Sean Carroll）是这些新思路的主要支持者之一，他最近表示，经典空间不是“自然结构的基础部分”，我们错误地用四维、十维或十一维限定住了这种特殊状态。之前迪克格拉夫将空间与温度做了类比，这里卡罗尔则让我们考虑“湿度”：当大量水分子聚集在一起，我们会感到潮湿。但没有人说水分子是湿的。只有你把他们聚集在一起，湿度才会成为一种性质。同理，空间是从量子层面上更基本的东西萌发出的。